Méthodes et formules pour les statistiques X et Y dans Régression par les moindres carrés partiels

Les scores X sont des combinaisons linéaires de termes, semblables aux scores principaux de composantes. Les scores Y forment une matrice n × m des colonnes non corrélées. Les scores X sont des projections des observations des composantes PLS. PLS ajuste les scores X, qui remplacent les termes d'origine dans les données, suivant l'estimation des moindres carrés.

Formule

Notation

Les contributions X sont des coefficients linéaires qui lient les termes aux scores X ; elles sont semblables aux vecteurs propres dans l'analyse des composantes principales. Les valeurs de contribution indiquent l'importance du terme correspondant pour la m^e composante. Les contributions X forment une matrice p × m.

Formule

Notation

Les pondérations X décrivent la covariance entre les termes et les réponses. Dans l'algorithme, les pondérations permettent de faire en sorte que les scores X soient orthogonaux ou non liés les uns aux autres ; elles servent aussi à calculer les scores X. Les pondérations X forment une matrice p  × m.

Formule

Minitab met à l'échelle le vecteur des pondérations afin que sa longueur soit égale à 1.

Notation

Les valeurs résiduelles X contiennent la variance des prédicteurs non expliquée par le modèle PLS. Les observations avec des valeurs résiduelles X relativement importantes sont des valeurs aberrantes dans l'espace X, indiquant qu'elles ne sont pas expliquées correctement par le modèle.

Les valeurs résiduelles X sont le résultat de la différence entre les valeurs de prédicteur réelles et des valeurs calculées à partir des scores X ; leur échelle est identique à celle des prédicteurs d'origine. Semblable à la matrice X d'origine, la matrice des valeurs résiduelles X est une matrice n × p.

La matrice des valeurs résiduelles X est définie à l'origine sur la matrice X normalisée. Après avoir calculé la m^e composante et obtenu les vecteurs de scores X et de contributions X, Minitab calcule les valeurs résiduelles X.

Formule

Minitab calcule ensuite les valeurs résiduelles X non normalisées en multipliant les valeurs résiduelles X normalisées par l'écart type des valeurs de prédicteurs.

Notation

Les valeurs calculées Y sont des combinaisons linéaires de scores X qui contiennent la variance des prédicteurs expliquée par le modèle PLS. Les observations avec des valeurs calculées X relativement faibles sont des valeurs aberrantes dans l'espace X et ne sont pas expliquées correctement par le modèle.

Semblable à la matrice X d'origine, la matrice des valeurs calculées X est une matrice n x p, dans laquelle n est le nombre d'observations et p le nombre de prédicteurs. Les valeurs calculées X se trouvent sur la même échelle que les prédicteurs.

La matrice des valeurs calculées X est initialisée sur la matrice zéro. Après avoir calculé la m^e composante et obtenu les vecteurs de scores X et de contributions X, Minitab calcule les valeurs calculées X. Si le nombre de composantes est égal à celui des prédicteurs, la valeur calculée X est égale à la valeur X d'origine.

Formule

Minitab calcule ensuite les valeurs calculées X non normalisées en multipliant les valeurs calculées X normalisées par l'écart type des valeurs de prédicteurs et en ajoutant la moyenne.

Notation

Les scores Y sont des combinaisons linéaires des variables de réponse. Les scores Y forment une matrice n ×m. Les scores Y sont des projections des observations des composantes PLS.

Formule

Notation

Les contributions Y sont des coefficients linéaires liant les réponses aux scores Y. Les valeurs de contribution indiquent l'importance de la réponse correspondante pour la m^e composante. Les contributions Y forment une matrice r × m.

Formule

Notation

Les valeurs résiduelles Y sont des valeurs contenant la variance restante des réponses que n'explique pas le modèle PLS. Les observations avec des valeurs résiduelles Y relativement importantes sont des valeurs aberrantes dans l'espace Y ; elles ne sont donc pas expliquées correctement.

Les valeurs résiduelles Y sont le résultat de la différence des valeurs de réponse réelles et des valeurs calculées Y ; leur échelle est identique à celle des réponses d'origine. Semblable à la matrice Y d'origine, la matrice des valeurs résiduelles Y est une matrice n x r.

La matrice des valeurs résiduelles Y est définie à l'origine sur la matrice Y normalisée. Après avoir calculé la m^e composante et obtenu les vecteurs de scores X et de contributions Y, Minitab détermine les valeurs résiduelles Y normalisées.

Formule

Minitab calcule ensuite les valeurs résiduelles Y non normalisées en multipliant les valeurs résiduelles Y normalisées par l'écart type des valeurs de réponse correspondantes.

Notation

Les valeurs calculées Y sont des combinaisons linéaires de scores X qui contiennent la variance des réponses expliquée par le modèle PLS. Les observations avec des valeurs calculées Y relativement faibles sont des valeurs aberrantes dans l'espace Y, et ne sont pas expliquées correctement.

Comme la matrice Y d'origine, la matrice des valeurs calculées Y est une matrice n x r. Elle est définie à l'origine sur la matrice zéro. Après avoir calculé la m^e composante et obtenu les vecteurs de scores X et de contributions Y, Minitab détermine les valeurs calculées Y normalisées.

Formule

Minitab calcule ensuite les valeurs calculées Y non normalisées en multipliant les valeurs calculées Y normalisées par l'écart type de la réponse correspondante et en ajoutant la moyenne.

Notation