Méthodes et formules pour la fonction Régression logistique nominale

Minitab calcule les fonctions logit K – 1 pour un modèle avec K catégories de réponse. Par exemple, une réponse comportant trois catégories (1, 2, 3) a deux fonctions logit (événement de référence = 3) :

Formule

Notation

Décrit un ensemble unique de valeurs de facteurs/covariables dans un fichier de données. Minitab calcule les probabilités d'événements, les valeurs résiduelles et d'autres mesures de diagnostic pour chaque combinaison de facteurs/covariables.

Par exemple, si un fichier de données inclut des facteurs relatifs au sexe et à l'origine ethnique et la covariable relative à l'âge, la combinaison de ces prédicteurs peut contenir autant de combinaisons de covariables que de sujets. Si un fichier de données inclut uniquement les facteurs relatifs au sexe et à l'origine ethnique, les deux étant codés à deux niveaux, il existe seulement quatre combinaisons de facteurs/covariables possibles. Si vous saisissez les données comme des effectifs (ou des réussites, des essais ou des échecs), chaque ligne contient une combinaison de facteurs/covariables.

Notée comme π. Pour un modèle comportant trois catégories 1, 2 et 3 (événement de référence 3), les probabilités conditionnelles sont les suivantes :

Formule

La probabilité d'événement est la suivante :

π_k(x) = P(y = k|x) pour k = 1, 2, 3. Chaque probabilité est une fonction du vecteur des paramètres 2(p + 1), b' = (b'₁, b'₂)

La fonction de log de vraisemblance est maximisée pour générer des valeurs optimales de b. Pour un modèle comportant 3 catégories de réponse (référence = 3), la fonction de log de vraisemblance est la suivante :

Les équations de probabilité se trouvent en prenant les premières dérivées partielles de L (b) pour chacun des 2 paramètres (p + 1). La forme générale de ces équations est la suivante :

Les estimations par le maximum de vraisemblance sont obtenues en définissant ces équations sur zéro et en résolvant b.

Notation

Estimations par le maximum de vraisemblance, également appelées estimations des paramètres. S'il existe des valeurs de réponse distinctes K, Minitab estime K – 1 ensembles d'estimations des paramètres pour chaque prédicteur. Les effets peuvent varier en fonction de la catégorie de réponse par rapport à l'événement de référence. Chaque logit fournit les différences estimées des probabilités de succès du logarithme d'une catégorie de réponse par rapport à l'événement de référence. Les paramètres dans les équations K – 1 déterminent les paramètres pour les logits à l'aide d'autres paires de catégories de réponse.

Les coefficients estimés sont calculés à l'aide d'une méthode des moindres carrés itératifs repondérés qui équivaut à l'estimation par le maximum de vraisemblance.^1,2

Références

La valeur de Z sert à déterminer si le prédicteur est associé à la réponse de manière significative. Des valeurs absolues de Z élevées indiquent une relation significative. La valeur de p indique où Z se situe sur la loi normale.

Formule

Z = β_i / erreur type

La formule pour la constante est la suivante :

Z = θ_k / erreur type

Pour les petits échantillons, le test du rapport de vraisemblance peut être un test de signification plus fiable.

Utilisée dans les tests d'hypothèse pour vous aider à décider de rejeter ou non une hypothèse nulle. La valeur de p est la probabilité d'obtenir une statistique de test au moins aussi extrême que la valeur réelle que vous avez calculée, si l'hypothèse nulle est vérifiée. Une valeur limite couramment utilisée pour la valeur de p est 0,05. Par exemple, si la valeur de p d'une statistique de test est inférieure à 0,05, rejetez l'hypothèse nulle.

Utile pour interpréter la relation entre un prédicteur et une réponse.

Le rapport des probabilités de succès (q) peut être un nombre non négatif. Un rapport des probabilités de succès de 1 sert de référence pour la comparaison. Si θ = 1, il n'existe aucune association entre la réponse et le prédicteur. Si θ > 1, les probabilités de succès de l'événement de réponse de la comparaison sont plus élevées pour le niveau de référence du facteur (ou pour les niveaux supérieurs d'un prédicteur continu). Si θ < 1, les probabilités de succès de l'événement de réponse de la comparaison sont plus faibles pour le niveau de référence du facteur (ou pour les niveaux supérieurs d'un prédicteur continu). Les valeurs éloignées de 1 représentent des degrés d'association plus importants.

Par exemple, pour un modèle comportant trois catégories de réponse (1, 2 et 3) et un prédicteur, le rapport des probabilités de succès indique les probabilités de succès pour la catégorie de résultats k par rapport à la catégorie de résultats utilisée comme événement de référence (3 dans le présent exemple). Vous trouverez ci-après la formule pour le rapport des probabilités de succès pour un prédicteur avec deux niveaux, a et b.

Formule

Notation

Formule

L'intervalle de confiance du grand échantillon pour β_i est le suivant :

β _i + Z_{α /2}* (erreur type)

Pour obtenir l'intervalle de confiance des rapports des probabilités de succès, utilisez un exposant pour les limites supérieure et inférieure de l'intervalle de confiance. L'intervalle indique l'étendue des probabilités de succès pour chaque variation d'unité du prédicteur.

Notation

Matrice carrée avec les dimensions p +1 × (K – 1). La variance de chaque coefficient figure dans la cellule diagonale et la covariance de chaque paire de coefficients figure dans la cellule hors diagonale appropriée. La variance est l'erreur type du coefficient au carré.

La matrice de variance/covariance est asymptotique et provient de la dernière itération de la valeur inverse de la matrice d'informations. La matrice des deuxièmes dérivées partielles est utilisée pour obtenir la matrice de covariance.

Notation