Contributions des colonnes et des lignes pour la fonction Analyse des correspondances simples

Les profils de colonnes se trouvent dans un espace de dimension d. L'ensemble complet de d axes principaux couvre cet espace. Supposons que g_j1, g_j2, g_j3, ..., g_jd sont les coordonnées du profil de colonne j relatives aux axes principaux. Ces coordonnées sont appelées coordonnées principales des colonnes. La k-ième coordonnée principale du profil de colonne j est g_jk.

Le meilleur sous-espace de dimension k est couvert par les k premiers axes principaux. Si nous projetons le profil de colonne j sur le meilleur sous-espace de dimension k, g_j1, ..., g_jk sont les coordonnées principales des colonnes du profil dans ce sous-espace.

Chaque axe principal contribue à l'inertie de chaque ligne. La corrélation entre la ligne i et la composante k est la contribution de l'axe principal k à l'inertie de la ligne i, exprimée en pourcentage de l'inertie pour la ligne i.

Cette corrélation peut également être considérée comme la corrélation entre le profil de ligne i et la composante principale k. La corrélation est calculée comme suit :

De même, la corrélation entre la colonne j et la composante k est la contribution de l'axe principal k à la colonne j, exprimée en pourcentage de l'inertie pour la colonne j.

Cette corrélation peut également être considérée comme la corrélation entre le profil de colonne j et la composante principale k. La corrélation est calculée comme suit :

Minitab affiche l'intertie relative pour une ligne ou une colonne donnée. L'inertie absolue est le produit de l'inertie relative et de l'inertie totale.

La somme des corrélations de la ligne i (colonne j), sur toutes les composantes principales, est de 1. La somme sur les k premières coordonnées principales correspond à la qualité associée au profil de ligne i (profil de colonne j) et au meilleur sous-espace de dimension k.

Notation

L'inertie d'une cellule est calculée comme suit :

La somme des inerties individuelles des cellules est égale à l'inertie totale, parfois simplement appelée inertie, du tableau.

L'inertie relative d'une cellule est calculée comme suit :

Les profils de lignes se trouvent dans un espace de dimension c. Les sous-espaces de dimension inférieurs sont couverts par les axes principaux, également appelés composantes principales. Le premier axe principal est choisi comme vecteur dans l'espace de dimension c qui constitue la plus grande part de l'inertie totale. Le premier axe principal couvre donc le meilleur sous-espace unidimensionnel (c'est-à-dire, le plus proche des profils avec une mesure appropriée). Le deuxième axe principal est choisi comme vecteur dans l'espace de dimension c qui constitue la plus grande part de l'inertie restante. Ainsi, les deux premiers axes principaux couvrent le meilleur sous-espace à deux dimensions. Le troisième axe principal est choisi comme vecteur dans l'espace de dimension c qui constitue la plus grande part de l'inertie restante, après l'inertie représentée par les deux premiers axes principaux. Ainsi, les trois premiers axes principaux couvrent le meilleur sous-espace à trois dimensions, et ainsi de suite.

Soit d = la valeur la plus petite entre (r − 1) et (c − 1). Les profils de lignes (ou profils de colonnes) se trouvent en fait dans un sous-espace de dimension d de l'espace de dimension c entier (équivalent à l'espace de dimension r entier). Ainsi, le nombre d'axes principaux est au maximum d.

La qualité associée au profil de ligne i et au meilleur sous-espace de dimension k est calculée comme suit :

La qualité associée au profil de colonne j et au meilleur sous-espace de dimension k est calculée comme suit :

Cette qualité est toujours un nombre compris entre 0 et 1, une plus grande valeur correspondant à une meilleure approximation.

Notation

Chaque ligne contribue à l'inertie de chaque axe. La contribution de la ligne i à l'axe k, exprimée en pourcentage de l'inertie pour l'axe k, est calculée comme suit :

La somme des contributions pour l'axe principal k, sur toutes les lignes i, est de 1.

De même, chaque colonne contribue à l'inertie de chaque axe. La contribution de la colonne j à l'axe k, exprimée en pourcentage de l'inertie pour l'axe k, est calculée comme suit :

La somme des contributions pour l'axe principal k, sur toutes les colonnes j, est de 1.

Notation

La masse de la ligne i est calculée comme suit :

La masse de la colonne j est calculée comme suit :

Le vecteur des masses des r lignes est identique au profil de ligne moyen et le vecteur des masses des c colonnes est identique au profil de colonne moyen.