Méthodes pour la fonction Analyser une réponse binaire pour un plan de criblage définitif

L'extension des modèles linéaires classiques aux modèles linaires généralisés se compose de deux parties : une loi issue de la famille exponentielle et une fonction de liaison.

Famille exponentielle

La première partie étend le modèle linéaire aux variables de réponse membres d'une grande famille de lois appelée famille exponentielle. Le format général des fonctions de répartition de probabilités pour les membres de la famille exponentielle de lois est le suivant :

où a(∙), b(∙) et c(∙) dépendent de la loi de la variable de réponse. Le paramètre θ est un paramètre d'emplacement souvent appelé paramètre canonique et ϕ est un paramètre de dispersion. La fonction a(ϕ) a habituellement la forme a(ϕ) = ϕ/ω, où ω représente une constante ou une pondération connue susceptible de varier d'une observation à l'autre. (Dans Minitab, lorsque les pondérations sont indiquées, la fonction a(ϕ) est ajustée en conséquence.)

Les membres de la famille exponentielle peuvent être des lois de probabilité discrète ou des lois de distribution continue. Les lois de distribution continue membres de la famille exponentielle comprennent entre autres la loi normale et la distribution gamma. Les lois de probabilité discrète membres de la famille exponentielle incluent la loi binomiale et la loi de Poisson. Le tableau suivant présente les caractéristiques de certaines de ces lois.

Loi de distribution	ϕ	b(θ)	a(φ)	c(y, ϕ)
Normale	σ2	θ2/2	φω
Binomiale	1		φ/ω	-ln(y!)
Poisson	1	exp(θ)	φ/ω

Fonction de liaison

La seconde partie est la fonction de liaison. Elle associe la moyenne de la réponse dans la i^e observation à un prédicteur linéaire de cette manière :

Le modèle linéaire classique est un cas particulier de cette formulation générale dans laquelle la fonction de liaison est la fonction d'identité.

Le choix de la fonction de liaison dans la seconde partie dépend de la loi de la famille exponentielle dans la première partie. Chaque loi de la famille exponentielle dispose d'une fonction de liaison particulière appelée fonction de liaison canonique. Cette dernière vérifie l'équation g (μ_i) = X_i'β = θ, où θ est le paramètre canonique. La fonction de liaison canonique engendre des propriétés statistiques voulues du modèle. Les statistiques d'adéquation de l'ajustement peuvent servir à comparer les ajustements obtenus par différentes fonctions de liaison. Le choix de certaines fonctions de liaison peut dépendre de raisons historiques ou de leur signification particulière dans une discipline. Par exemple, la fonction logit a pour avantage de fournir une estimation des rapports de probabilités de succès. Nous pouvons également prendre comme exemple la fonction de liaison normit, qui suppose qu'il existe une variable sous-jacente suivant une loi de distribution normale et classée en catégories binaires.

Minitab offre trois fonctions de liaison. Les différentes fonctions de liaison permettent de trouver des modèles bien ajustés à une grande variété de données. Les fonctions de liaison sont logit, normit (également appelée probit) et gompit (appelée également log-log complémentaire). Ces fonctions sont l'inverse de la loi de distribution logistique standard cumulée (logit), l'inverse de la loi de distribution normale standard cumulée (normit) et l'inverse de la loi de distribution de Gompertz (gompit). Logit représente la fonction de liaison canonique pour les modèles binoniaux, ce qui en fait la fonction de liaison par défaut.

Modèle	Nom	Fonction de liaison, g(μi)
Binomiale	logit
Binomiale	normit (probit)
Binomiale	gompit (log-log complémentaire)

Notation

Terme	Description
μi	réponse moyenne de la ie ligne
g(μi)	fonction de liaison
X	vecteur de variables de prédiction
β	vecteur des coefficients associés aux prédicteurs
	inverse de la fonction de répartition cumulée pour la loi normale

Décrit un ensemble unique de valeurs de facteurs/covariables dans un fichier de données. Minitab calcule les probabilités d'événements, les valeurs résiduelles et d'autres mesures de diagnostic pour chaque combinaison de facteurs/covariables.

Par exemple, si un fichier de données inclut des facteurs relatifs au sexe et à l'origine ethnique et la covariable relative à l'âge, la combinaison de ces prédicteurs peut contenir autant de combinaisons de covariables que de sujets. Si un fichier de données inclut uniquement les facteurs relatifs au sexe et à l'origine ethnique, les deux étant codés à deux niveaux, il existe seulement quatre combinaisons de facteurs/covariables possibles. Si vous saisissez les données comme des effectifs (ou des réussites, des essais ou des échecs), chaque ligne contient une combinaison de facteurs/covariables.

Minitab crée d'abord une matrice du plan d'expériences à partir des facteurs et du modèle que vous spécifiez. Les colonnes de cette matrice représentent les termes du modèle. Minitab ajoute ensuite des colonnes supplémentaires pour le terme constant, les blocs et les termes d'ordre supérieur pour exécuter la matrice du plan d'expériences pour le modèle de l'analyse.

Plans avec l'ensemble des facteurs continus

La forme de la matrice du plan d'expériences dépend de la présence d'une matrice en C avec le même nombre de lignes et de facteurs. Lorsque ce critère est vrai, les colonnes de la matrice du plan d'expériences représentant les facteurs ont cette forme :

Où C est une matrice en C n× n avec les éléments {-1, 0, 1} qui satisfait cette propriété :

En l'absence d'une matrice en C aux dimensions appropriées, les colonnes qui représentent les facteurs constituent un sous-ensemble d'une matrice en C plus grande :

Où A est une matrice N× n avec les éléments {-1, 0, 1} qui satisfait cette propriété :

La matrice du plan complet comporte des colonnes en plus des colonnes représentant les facteurs. La matrice du plan d'expériences comporte une colonne de 1 pour le terme constant. La matrice du plan complet comporte également des colonnes qui représentent tout carré ou terme d'interaction dans le modèle.

Plans avec facteurs de catégorie

Dans un plan incluant des facteurs de catégorie, Minitab remplace la ligne de point central unique de la matrice du plan d'expériences par 2 pseudo-points centraux. Si le plan comporte uniquement 1 facteur de catégorie, il n'existe que deux pseudo-points centraux possibles. Les deux points se trouvent donc dans le plan.

Dans les cas où le plan comporte plus de 2 facteurs de catégorie, Minitab utilise un algorithme itératif pour sélectionner 2 pseudo-points centraux à inclure. L'algorithme cherche à minimiser la variance des coefficients de régression pour les effets linéaires du modèle.

Notation

Terme	Description
C	Matrice en C
0'	Ligne de zéros dans une matrice représentant un essai de point central
In	matrice identité n × n
A	Matrice correspondant à un sous-ensemble d'une matrice en C avec N lignes et n colonnes où
N	Nombre de lignes dans le sous-ensemble des colonnes de la matrice en C
n	Nombre de facteurs inclus dans le plan