Sur ce thème
Famille exponentielle et fonctions de liaison
L'extension des modèles linéaires classiques aux modèles linaires généralisés se compose de deux parties : une loi issue de la famille exponentielle et une fonction de liaison.
Famille exponentielle
La première partie étend le modèle linéaire aux variables de réponse membres d'une grande famille de lois appelée famille exponentielle. Le format général des fonctions de répartition de probabilités pour les membres de la famille exponentielle de lois est le suivant :
où a(∙), b(∙) et c(∙) dépendent de la loi de la variable de réponse. Le paramètre θ est un paramètre d'emplacement souvent appelé paramètre canonique et ϕ est un paramètre de dispersion. La fonction a(ϕ) a habituellement la forme a(ϕ) = ϕ/ω, où ω représente une constante ou une pondération connue susceptible de varier d'une observation à l'autre. (Dans Minitab, lorsque les pondérations sont indiquées, la fonction a(ϕ) est ajustée en conséquence.)
Les membres de la famille exponentielle peuvent être des lois de probabilité discrète ou des lois de distribution continue. Les lois de distribution continue membres de la famille exponentielle comprennent entre autres la loi normale et la distribution gamma. Les lois de probabilité discrète membres de la famille exponentielle incluent la loi binomiale et la loi de Poisson. Le tableau suivant présente les caractéristiques de certaines de ces lois.
| Loi de distribution | ϕ | b(θ) | a(φ) | c(y, ϕ) |
| Normale | σ2 | θ2/2 | φω |  |
| Binomiale | 1 |  |
φ/ω | -ln(y!) |
| Poisson | 1 | exp(θ) | φ/ω |  |
Fonction de liaison
La seconde partie est la fonction de liaison. Elle associe la moyenne de la réponse dans la ie observation à un prédicteur linéaire de cette manière :
Le modèle linéaire classique est un cas particulier de cette formulation générale dans laquelle la fonction de liaison est la fonction d'identité.
Le choix de la fonction de liaison dans la seconde partie dépend de la loi de la famille exponentielle dans la première partie. Chaque loi de la famille exponentielle dispose d'une fonction de liaison particulière appelée fonction de liaison canonique. Cette dernière vérifie l'équation g (μi) = Xi'β = θ, où θ est le paramètre canonique. La fonction de liaison canonique engendre des propriétés statistiques voulues du modèle. Les statistiques d'adéquation de l'ajustement peuvent servir à comparer les ajustements obtenus par différentes fonctions de liaison. Le choix de certaines fonctions de liaison peut dépendre de raisons historiques ou de leur signification particulière dans une discipline. Par exemple, la fonction logit a pour avantage de fournir une estimation des rapports de probabilités de succès. Nous pouvons également prendre comme exemple la fonction de liaison normit, qui suppose qu'il existe une variable sous-jacente suivant une loi de distribution normale et classée en catégories binaires.
Minitab offre trois fonctions de liaison. Les différentes fonctions de liaison permettent de trouver des modèles bien ajustés à une grande variété de données. Les fonctions de liaison sont logit, normit (également appelée probit) et gompit (appelée également log-log complémentaire). Ces fonctions sont l'inverse de la loi de distribution logistique standard cumulée (logit), l'inverse de la loi de distribution normale standard cumulée (normit) et l'inverse de la loi de distribution de Gompertz (gompit). Logit représente la fonction de liaison canonique pour les modèles binoniaux, ce qui en fait la fonction de liaison par défaut.
| Modèle | Nom | Fonction de liaison, g(μi) |
| Binomiale | logit |  |
| Binomiale | normit (probit) |  |
| Binomiale | gompit (log-log complémentaire) |  |
Notation
| Terme | Description |
|---|---|
| μi | réponse moyenne de la ie ligne |
| g(μi) | fonction de liaison |
| X | vecteur de variables de prédiction |
| β | vecteur des coefficients associés aux prédicteurs |
 | inverse de la fonction de répartition cumulée pour la loi normale |
Combinaison de facteurs/covariables
Décrit un ensemble unique de valeurs de facteurs/covariables dans un fichier de données. Minitab calcule les probabilités d'événements, les valeurs résiduelles et d'autres mesures de diagnostic pour chaque combinaison de facteurs/covariables.
Par exemple, si un fichier de données inclut des facteurs relatifs au sexe et à l'origine ethnique et la covariable relative à l'âge, la combinaison de ces prédicteurs peut contenir autant de combinaisons de covariables que de sujets. Si un fichier de données inclut uniquement les facteurs relatifs au sexe et à l'origine ethnique, les deux étant codés à deux niveaux, il existe seulement quatre combinaisons de facteurs/covariables possibles. Si vous saisissez les données comme des effectifs (ou des réussites, des essais ou des échecs), chaque ligne contient une combinaison de facteurs/covariables.
Matrice du plan
Minitab génère une matrice de plan pour chaque plan. La première colonne correspond à une colonne de plan pour ce terme constant. Si le plan a été divisé en k blocs, il existera (k - 1) colonnes de blocs. Minitab utilise la même méthode de codage de blocs que pour les modèles factoriels. Ceci est suivi d'une colonne pour chaque effet principal. Les termes avec des facteurs de catégorie peuvent avoir plusieurs colonnes. Si le modèle contient des termes au carré, il existe une colonne pour chaque terme au carré. La colonne d'un terme au carré est le produit du facteur correspondant multiplié par lui-même. Si le modèle contient des termes d'interaction, il existe alors une colonne pour chaque terme d'interaction. Les interactions qui incluent des facteurs de catégorie peuvent avoir plusieurs colonnes. La colonne d'un terme d'interaction est le produit des deux colonnes croisées.
Si Minitab supprime certains termes, car les données ne peuvent pas les prendre en charge, ces termes n'apparaissent pas dans la matrice de plan stockée. Les colonnes stockées correspondent aux coefficients affichés.
