Les modèles à effets mixtes contiennent des effets fixes et aléatoires. La forme générale du modèle à effets mixtes est la suivante :
y = Xβ + Z1μ1+ Z2μ2 + ... + Zcμc + ε
Notation
Terme
Description
y
vecteur n x 1 des valeurs de réponse
X
matrice de plan n x p pour les termes d'effet fixe, p ≤ n
β
vecteur p x 1 de paramètres inconnus
matrice de plan n x mi pour l' terme aléatoire dans le modèle
μi
vecteur mi x 1 de variables indépendantes issues d'une loi N(0, )
ε
vecteur n x 1 de variables indépendantes issues d'une loi N(0, )
n
nombre d'observations
p
nombre de paramètres dans
c
nombre de termes aléatoires dans le modèle
Matrice de variance/covariance
D'après l'hypothèse pour la forme générale du modèle à effets mixtes, le vecteur de réponse, y, suit une loi normale multivariée ayant pour vecteur moyen Xβ et la matrice de variance/covariance suivante :
σ2, σ21, ... , σ2c sont appelés des composantes de la variance.
En factorisant la variance, vous pouvez trouver une représentation de H(θ), qui se trouve dans le calcul du log de vraisemblance des modèles à effets mixtes.
V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]
Notation
Terme
Description
θi
rapport de la variance de l' terme aléatoire par rapport à la variance d'erreur
Log de vraisemblance
Lorsque le modèle contient un facteur aléatoire, les estimations du paramètre inconnu par défaut sont obtenues par minimisation du négatif du logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. Cette minimisation revient à maximiser le logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. Minitab utilise un algorithme itératif afin de minimiser le logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. La fonction à minimiser est la suivante :
Notation
Terme
Description
H
In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|
déterminant de H
H-1
inverse de H
mi
nombre de niveaux pour l' terme aléatoire
composante de variance pour l'erreur
In
matrice d'identité avec n lignes et colonnes
Estimation par le maximum de vraisemblance restreinte (REML)
Par défaut, Minitab calcule les estimations de paramètres qui maximisent la fonction de vraisemblance restreinte, ce qui revient à minimiser la fonction suivante :
Pour minimiser la fonction, Minitab dérive la fonction par rapport à β, σ2 et θi, et définit les dérivées sur 0, comme indiqué ci-dessous :
où
Sous forme algébrique, les deux premières équations à résoudre pour les paramètres estimés par rapport à la dérivation sont les suivantes :
La dérivée par rapport à ne peut pas être résolue de manière explicite pour . Minitab utilise la méthode de Newton pour estimer en suivant la procédure ci-dessous :
Utilisez les estimations MINQUE12 des composantes de la variance afin de définir les valeurs initiales de σ2 et de θi.
Estimez β et σ2 avec les équations pour et .
Recherchez la valeur de θi à l'aide de la méthode de Newton afin de minimiser L(β, σ2, θ).
Reproduisez les étapes 2 et 3 jusqu'à convergence.
Les solutions convergentes pour correspondent aux estimations du rapport des variances. La composante de variance pour l' terme aléatoire est calculée comme suit :
Notation
Terme
Description
tr(·)
trace de la matrice
X'
transposition de X
1 Rao, C.R. (1971 a), Estimation of variance covariance components - MINQUE theory, Journal of Multivariate Analysis 1, 257–275.
2 Rao, C.R. (1971 b), Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components, Journal of Multivariate Analysis 1, 445–456
terme aléatoire dans le modèle
)
)
rapport de la variance de l'
terme aléatoire par rapport à la variance d'erreur
terme aléatoire
ne peut pas être résolue de manière explicite pour 
. Minitab utilise la méthode de Newton pour estimer 
en suivant la procédure ci-dessous :
et 
.
correspondent aux estimations du rapport des variances. La composante de variance pour l'
terme aléatoire est calculée comme suit :
