Le calcul de l'effectif d'échantillon, n, et de la distance critique, k, dépend du nombre de limites de spécification indiquées et de la connaissance ou non de l'écart type.
Limite de spécification unique et écart type connu
L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :
La distance critique est obtenue par le calcul suivant :
où :
Notation
Terme
Description
Z1
(1 – p1) * 100 percentile de la loi normale standard
p1
niveau de qualité acceptable (NQA)
Z2
(1 – p2) * 100 percentile de la loi normale standard
p2
niveau de qualité rejetable (NQR)
Zα
(1 – α) * 100e percentile de la loi normale standard
α
risque pour le fournisseur
Zβ
(1 – β) * 100e percentile de la loi normale standard
β
risque pour le client
Limite de spécification unique et écart type inconnu
La notation est la même que dans la section relative aux cas impliquant une seule limite de spécification et un écart type connu. L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :
La distance critique est obtenue par le calcul suivant :
Limites de spécification doubles et écart type connu
La notation qui n'est pas définie ci-dessous est la même que dans la section relative aux cas impliquant une seule limite de spécification et un écart type connu. Minitab commence par calculer z :
Minitab recherche ensuite la valeur p* à partir de la loi normale standard, en étudiant la zone d'extrémité supérieure correspondant à z. Il s'agit de la probabilité minimale de défectueux en dehors de l'une des limites de spécification.
La méthode utilisée par Minitab pour le calcul de l'effectif d'échantillon et de la distance critique dépend de cette valeur p*.
Soit p1 = AQL, p2 = RQL
Si 2p* ≤ (p1/ 2), les deux spécifications sont relativement éloignées et les calculs suivent les plans à limite unique.
Si p1/ 2 < 2p* ≤ p1, les deux spécifications sont rapprochées mais encore assez éloignées pour que la probabilité minimale de défectueux puisse être obtenue pour certaines valeurs moyennes. Minitab réalise une itération pour obtenir l'effectif d'échantillon et la distance critique.
Soit
μ = μ0+ m * h, où h = σ/100
Soit m = 1, 2, ...300. Pour chaque valeur μ, calculez :
où Φ représente la fonction de répartition pour la loi normale standard. Si Prob (X<L) + Prob (X>U) est extrêmement proche de p1, Minitab utilise la valeur la plus élevée entre Prob (X<L) et Prob (X>U) pour obtenir l'effectif d'échantillon et le critère d'acceptation.
Si Prob (X<L) est la valeur la plus élevée, soit pL = Prob (X<L).
L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :
La distance critique est obtenue par le calcul suivant :
où :
ZpL = le (1 – pL) * 100 percentile de la loi normale standard.
Si nous utilisons déjà toutes les valeurs m, mais que les probabilités correspondantes ne contiennent pas p1, alors la valeur p1 est trop élevée, ce qui signifie que la moyenne des mesures est très éloignée du point central de l'intervalle [L, U]. Dans ce cas, nous pouvons utiliser une méthode impliquant une seule limite de spécification et où ZpL = Z1. La définition de Z1 est la même que dans le cas de figure impliquant une seule limite de spécification.
Si p1 < 2p* < p2, les spécifications du plan doivent être réexaminées, car la probabilité minimale de défectuosité déterminée par les deux limites de spécifications et les écarts type est supérieure au niveau de qualité acceptable p1. Vous pouvez rejeter le lot ou éventuellement utiliser un plan où la probabilité de défectuosité est légèrement supérieure à p1.
Si 2p* ≥ p2, le lot doit être rejeté, car la probabilité minimale de défectuosité déterminée par les deux limites de spécification et l'écart type est supérieure au niveau de qualité rejetable. Vous pouvez rejeter le lot sans tester de produits.
Notation
Terme
Description
L
limite de spécification supérieure
U
limite de spécification supérieure
σ
écart type connu
Limites de spécification doubles et écart type inconnu (procédure par défaut)
La notation est la même que dans les sections précédente. Pour la distance critique, Minitab utilise la même valeur que dans le cas de deux plans distincts à une seule limite :
L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :
Si n > 2, Minitab calcule le TMS avec les étapes suivantes1.
Soit
Puis,
où Bêta est la fonction de répartition d'une loi bêta avec les paramètres de forme a et b. Ici, .
Définissez
Puis,
où Bêta-1 est la fonction de répartition inverse de la loi bêta définie à l'étape 2.
Si n ≤ 2, l'écart type maximal (MSD) n'est pas calculé.
Limites de spécification doubles et écart type inconnu (procédure Wallis)
La notation est la même que dans les sections précédente. La procédure suivante se trouve dans le livre de Schilling.2
D'abord, Minitab utilise la distance critique en tant que valeur, comme indiqué dans le cas de deux plans à limite unique distincts :
Minitab recherche ensuite la zone de l'extrémité supérieure de la loi normale standard, p*, correspondant à k en tant que percentile, puis le percentile Zp** de la loi normale standard correspondant à la zone d'extrémité supérieure de p*/2.
L'écart type maximal (MSD) est calculé comme suit :
L'écart type estimé est calculé de la façon suivante :
Minitab réalise des tests afin de déterminer si l'écart type estimé, s, est inférieur ou égal à la valeur MSD.
Si l'écart type estimé, s, est inférieur ou égal à la valeur MSD, l'effectif d'échantillon est donné par :
Si l'écart type estimé, s, n'est pas inférieur ou égal à la valeur MSD, cela signifie que l'écart type est trop élevé pour être cohérent avec les critères d'acceptation et que vous devez rejeter le lot.
Notation
Terme
Description
Xi
ie mesure
moyenne des mesures réelles
Probabilité d'acceptation
Soit p la probabilité de défectueux, ce qui correspond à la valeur de x d'un point d'une courbe Ceff.
Limite de spécification unique et écart type connu
Limite de spécification inférieure unique et écart type connu
Prob (X < Inf) = p.
Limite de spécification supérieure unique et écart type connu
Prob (X > Inf) = p.
Limite de spécification unique et écart type inconnu
Limites de spécification doubles et écart type connu
Minitab commence par calculer z
Minitab recherche ensuite la valeur p* à partir de la loi normale standard, en étudiant la zone d'extrémité supérieure correspondant à z. Il s'agit de la probabilité minimale de défectueux en dehors de l'une des limites de spécification.
La méthode utilisée par Minitab pour la probabilité d'acceptation dépend de cette valeur p*.
Soit p1 = NQA, p2 = NQR
Si 2p* ≤ (p1/ 2), les deux spécifications sont relativement éloignées et les calculs de l'effectif d'échantillon et de la distance critique suivent les plans à limite unique.
Si p1/ 2 < 2p* ≤ p1, les deux spécifications sont rapprochées mais encore assez éloignées pour que la probabilité minimale de défectueux puisse être obtenue pour certaines valeurs moyennes.
Pour toute valeur p donnée, Minitab recherche la moyenne μ des mesures à l'aide d'un algorithme de recherche par grille. Ainsi,
Limites de spécification doubles et écart type inconnu
Lorsque vous disposez des limites de spécification inférieure et supérieure, mais que vous ne connaissez pas l'écart type, Minitab utilise la courbe Ceff. pour que le plan à limite unique se rapproche des cas de limites de spécification doubles. La courbe Ceff. dérivée pour un plan à limite unique avec des valeurs p1, p2, α et β données est la limite inférieure de la bande de courbes Ceff. d'un plan de spécification bilatéral ayant les mêmes valeurs p1, p2, α et β, et qui dans la plupart des cas pratiques peut être utilisée comme courbe Ceff. pour le plan bilatéral. Voir Duncan1.
Duncan (1986), Quality Control and Industrial Statistics, 5e édition.
Notation
Terme
Description
n
effectif d'échantillon
k
distance critique
σ
écart type connu
Zp
(1 - p)e percentile de la loi normale standard
Φ
fonction de répartition de la loi normale standard
T
suit une loi t non centrale avec n – 1 degrés de liberté, et le paramètre de non-centralité,
L
limite de spécification inférieure
Sup
limite de spécification supérieure
Probabilité de rejet
La probabilité de rejet (Pr) décrit les chances de rejeter un lot particulier pour un plan d'échantillonnage et une proportion de défectueux entrante spécifiques. Pour la calculer, il suffit de soustraire la probabilité d'acceptation à 1.
Pr = 1 – Pa
où :
Pa = probabilité d'acceptation
Qualité moyenne après contrôle (QMAC)
La qualité moyenne après contrôle représente le niveau de qualité du produit après le contrôle. Elle varie en fonction du pourcentage de défectueux entrants.
Notation
Terme
Description
Pa
probabilité d'acceptation
p
proportion de défectueux entrants
N
taille du lot
n
effectif d'échantillon
Courbe de contrôle totale moyenne (CTM)
La moyenne des unités contrôlées (CTM) représente le nombre moyen d'unités qui seront contrôlées pour un niveau de qualité entrant et une probabilité d'acceptation particuliers.
Notation
Terme
Description
Pa
probabilité d'acceptation
N
taille du lot
n
effectif d'échantillon
Zone d'acceptation (AR) - Procédure par défaut
La zone d'acceptation est uniquement calculée lorsque les deux spécifications sont indiquées et que l'écart type est inconnu. Reportez-vous à la section sur l'effectif d'échantillon et la distance critique afin d'accéder respectivement à des définitions pour n et k, ainsi que pour connaître la notation utilisée dans les équations.
Sur le diagramme de zone d'acceptation, l'axe des x représente la moyenne d'échantillon et l'axe des y représente l'écart type d'échantillon. La zone d'acceptation est formée par trois fonctions de l'écart type d'échantillon et de la moyenne d'échantillon, auxquelles s'ajoute l'écart type maximal (MSD). Pour les moyennes d'échantillon auxquelles l'écart type d'échantillon est supérieur au MSD, le borne supérieure de la zone d'acceptation est le MSD.
Quand la moyenne est proche des limites de spécification, la zone d'acceptation est délimitée par les deux fonctions suivantes :
Quand la moyenne d'échantillon est proche du centre des limites de spécification, les coordonnées de la borne supérieure de la zone d'acceptation sont calculées comme suit :
Soit .
Alors où Bêta est la fonction de répartition d'une loi bêta avec les paramètres de forme a et b. Ici, .
Définir des paires de proportions p01 et p02, qui satisfont p02 + p01 = p*
Ensuite,
où Bêta-1 est la fonction de répartition inverse de la loi bêta définie à l'étape 2.
Pour , les coordonnées de la moyenne et de l'écart type sont fournies par les équations suivantes :
Zone d'acceptation (AR) - Procédure Wallis
Les calculs suivants sont pour le cas à l’analyse a les deux spécifications, mais que l’écart type est inconnu. La procédure se trouve dans le livre de Schilling.2
Dans ce diagramme, l’axe x montre les valeurs de la moyenne de l’échantillon () et l’axe y montre les valeurs de l’écart type. En combinaison avec l’axe x, les lignes suivantes forment un triangle d’acceptation.
La ligne pointillée et l’axe x forment une région plus précise. Procédez comme suit pour former la ligne pointillée.
Soit p* l'aire de la queue supérieure de la distribution normale standard avec la distance critique comme percentile : P(Z > k).
Sélectionnez les valeurs de p01 et p02 qui satisfont p02 + p01 = p*:
p01 = (p* / 100) * h
p02 = (p* / 100) * (100 - h)
où h prend les valeurs 1 à 00.
Utilisez les équations suivantes pour définir les coordonnées X et Y :
Notation
Terme
Description
L
limite inférieure de la spécification
U
limite supérieure de la spécification
k
distance critique
Zp01
(1 - p01)* 100 percentile de la loi normale standard
Zp02
(1 - p02)* 100 percentile de la loi normale standard
p01
(p* / 100) * h
p02
(p* / 100) * (100 – h)
1 Duncan, A. J. (1986). Quality Control and Industrial Statistics (5th ed.). Homewood, Ill: Irwin.
2 Schilling et Neubauer (2009). Acceptance Sampling in Quailty Control (2nd ed.)
.
.
où Bêta est la fonction de répartition d'une loi bêta avec les paramètres de forme a et b. Ici, 
.
, les coordonnées de la moyenne et de l'écart type sont fournies par les équations suivantes :
) et l’axe y montre les valeurs de l’écart type. En combinaison avec l’axe x, les lignes suivantes forment un triangle d’acceptation.
