Méthodes et formules pour la fonction Lois de probabilité

Pour un nombre p compris dans l'intervalle fermé [0,1], la fonction de répartition inverse (CDF inverse) d'une variable aléatoire X détermine, lorsque c'est possible, une valeur de x pour laquelle la probabilité que X ≤ x est supérieure ou égale à p.

CDF inverse pour les lois continues

La CDF inverse fournit la valeur associée à une aire située sous la fonction de densité de probabilité. Il s'agit de l'inverse de la fonction de répartiton (CDF), qui fournit quant à elle l'aire associée à une valeur.

Pour toutes les lois continues, la CDF inverse existe et est unique si 0 < p < 1.

• Lorsque la fonction de densité de probabilité (PDF) est positive pour l'ensemble de la ligne de nombres réels (par exemple, la PDF normale), la CDF inverse n'est pas définie soit pour p = 0, soit pour p = 1.
• Lorsque la PDF est positive pour toutes les valeurs qui sont supérieures à une valeur donnée (par exemple, la PDF du Khi deux), la CDF inverse est définie pour p = 0, mais pas pour p = 1.
• Lorsque la PDF est uniquement positive sur un intervalle (par exemple, la PDF de la loi uniforme), la CDF inverse est définie pour p = 0 et pour p = 1.
• Dans les cas où la CDF inverse n'est pas définie, Minitab renvoie une valeur manquante (*) pour le résultat.

CDF inverse pour les lois discrètes

La CDF inverse est plus complexe pour les lois discrètes que pour les lois continues. Lorsque vous calculez la CDF correspondant à une loi binomiale avec, par exemple, n = 5 et p = 0,4, il n'existe aucune valeur x pour laquelle la CDF est égale à 0,5. Pour x = 1, la CDF est de 0,3370. Pour x = 2, la CDF passe à 0,6826.

Si la CDF inverse est affichée (autrement dit, que les résultats ne sont pas stockés), ces deux valeurs de x sont indiquées. Si la CDF inverse est stockée, seule la plus grande des deux valeurs est stockée.

La loi bêta est souvent utilisée pour représenter les procédés ayant des limites inférieure et supérieure naturelles.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

Lorsque a = 0 et b = 1,

la PDF est calculée comme suit :

La loi binomiale permet de représenter le nombre d'événements qui se produisent au cours de n essais indépendants. Les valeurs possibles sont des nombres entiers compris entre zéro et n.

Formule

moyenne = np

variance = np(1 – p)

La fonction de masse de probabilité (PMF) est exprimée comme suit :

Où est égal à .

En règle générale, vous pouvez calculer k! comme suit :

Notation

La loi de Cauchy est symétrique autour de zéro, mais ses extrémités avoisinent moins rapidement zéro que celles de la loi normale.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

Si X présente une loi normale standard, X² présente une loi du Khi deux avec un degré de liberté, ce qui en fait une loi d'échantillonnage couramment utilisée.

La somme de n variables X² indépendantes (où X suit une loi normale standard) obéit à une loi du Khi deux à n degrés de liberté. La forme de la loi du Khi deux dépend du nombre de degrés de liberté.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

moyenne = v

variance = 2v

Notation

Une loi de probabilité discrète est une loi que vous définissez vous-même. Supposons que vous êtes intéressé par une distribution constituée de trois valeurs −1, 0, 1, avec des probabilités respectives de 0,2, 0,5 et 0,3. Si vous saisissez les valeurs dans les colonnes d'une feuille de travail, vous pouvez les utiliser pour générer des données aléatoires ou pour calculer des probabilités.

La loi exponentielle peut être utilisée pour modéliser le temps écoulé entre des défaillances, par exemple quand des unités ont un taux de défaillance constant et instantané (fonction de risque). La loi exponentielle est un cas particulier de la loi de Weibull et de la loi gamma.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

moyenne = θ + λ

variance = θ²

Notation

La loi F est aussi connue sous le nom de loi variance-rapport et présente deux types de degrés de liberté : les degrés de liberté de numérateur et de dénominateur. Il s'agit de la loi de distribution du rapport de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois du Khi deux, chacune divisée par ses degrés de liberté.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

La loi gamma est souvent utilisée pour modéliser des données asymétriques dans le sens positif.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

moyenne = ab + θ

variance = ab²

Notation

La loi géométrique négative discrète s'applique à une suite d'expériences de Bernoulli indépendantes portant sur un événement d'intérêt ayant une probabilité p.

Formule

Si la variable aléatoire X est le nombre total d'essais nécessaires pour produire un événement avec une probabilité p, la fonction de masse de probabilité (PMF) de X est obtenue de la façon suivante :

et X présente les propriétés suivantes :

Si la variable aléatoire Y correspond au nombre de non-événements qui se produisent avant que le premier événement (avec la probabilité p) soit observé, la fonction de masse de probabilité (PMF) de Y est obtenue de la façon suivante :

et Y présente les propriétés suivantes :

Notation

La loi hypergéométrique est utilisée pour les échantillons prélevés auprès de populations restreintes, sans remise. Par exemple, supposons qu'un lot de N téléviseurs comporte N₁ postes fonctionnels (succès) et N₂ postes défectueux (échec). Si vous prélevez un échantillon aléatoire de n téléviseurs sur N sans remise, vous pouvez obtenir la probabilité pour qu'exactement x des n téléviseurs soient fonctionnels.

Formule

La fonction de masse de probabilité (PMF) est exprimée comme suit :

Notation

La loi de distribution des entiers est une loi uniforme discrète portant sur un ensemble d'entiers. Chaque entier a la même probabilité d'occurrence.

La loi normale (aussi appelée loi de Gauss) est la loi statistique la plus utilisée en raison des nombreux procédés physiques, biologiques et sociaux qu'elle permet de modéliser.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

moyenne = μ

variance = σ ²

écart type = σ

Notation

La loi de Laplace est utilisée lorsque la loi est plus pointue qu'une loi normale.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

moyenne = a

variance = 2b²

Notation

Utilisez la loi des plus grandes valeurs extrêmes pour modéliser la valeur la plus élevée d'une loi. Si vous disposez d'une suite de lois exponentielles et que X_(n) est le maximum de la première valeur de n, la loi de distribution de X_(n) – ln(n) converge avec la loi des plus grandes valeurs. De ce fait, pour des valeurs de n élevées, la loi des plus grandes valeurs extrêmes constitue une bonne approximation de la loi de distribution de X_(n) – ln(n).

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

moyenne = μ + γσ

variance = π ² σ ² / 6

Notation

Loi de distribution symétrique semblable à la loi normale, mais présentant des extrémités plus lourdes.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

moyenne = μ

Notation

Une variable x suit une loi log-normale avec un seuil λ si Y = log (x – λ) suit une loi logistique.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

quand σ < 1 :

quand σ < 1/2 :

Notation

Une variable x suit une loi log-normale si log(x – λ) suit une loi normale.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

Notation

La loi binomiale négative discrète s'applique à une série d'expériences de Bernoulli indépendantes portant sur un événement d'intérêt ayant une probabilité p.

Formule

Si la variable aléatoire X est le nombre d'essais nécessaires pour produire des r événements ayant chacun une probabilité p, la fonction de masse de probabilité (PMF) de X est obtenue de la façon suivante :

et X présente les propriétés suivantes :

Si la variable aléatoire Y correspond au nombre de non-événements qui se produisent avant que vous observiez les r événements, qui ont chacun une probabilité p, la fonction de masse de probabilité (PMF) de Y est obtenue de la façon suivante :

et Y présente les propriétés suivantes :

Notation

La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui modélise un nombre d'événements à partir d'un taux d'occurrence constant. La loi de Poisson peut être utilisée comme approximation de la loi binomiale lorsque le nombre d'essais indépendants est élevé et que la probabilité de réussite est faible.

Formule

La fonction de masse de probabilité (PMF) est exprimée comme suit :

moyenne = λ

variance = λ

Notation

Utilisez la loi des plus petites valeurs extrêmes pour modéliser la valeur la plus petite d'une loi. Si Y suit une loi de Weibull, alors Log(Y) suit une loi des plus petites valeurs extrêmes.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

Notation

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

moyenne = 0, où ν > 0

Notation

La PDF de la loi triangulaire présente une forme triangulaire.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

La loi uniforme caractérise les données d'un intervalle de manière uniforme, avec a comme plus petite valeur et b comme plus grande valeur.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

La loi de Weibull permet de modéliser les temps de défaillance de produits.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

Notation