Méthodes et formules pour la fonction Test de Mann-Whitney

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Statistique de test

Minitab calcule la statistique de Mann-Whitney comme suit :
  1. Minitab classe les valeurs combinées des deux échantillons dans l'ordre. Minitab attribue le rang 1 à la plus petite observation, le rang 2 à la deuxième plus petite observation, et ainsi de suite.
  2. Si deux observations ou plus sont égales, Minitab leur attribue la moyenne de leurs rangs respectifs.
  3. Minitab résume les rangs du premier échantillon.

Classement des valeurs ex aequo

On parle de valeurs ex aequo lorsque deux observations ou plus sont égales. Si les données présentent des valeurs ex aequo, Minitab classe les données de la façon suivante :
  1. Il classe les observations par ordre croissant.
  2. Il attribue un rang à chaque observation comme s'il n'existait aucune valeur ex aequo.
  3. Pour tout ensemble de valeurs ex aequo, il prend la moyenne des rangs correspondants et attribue cette valeur comme nouveau rang à toutes les valeurs ex aequo de cet ensemble.

Exemple

Un échantillon comporte 9 observations : 2,4 ; 5,3 ; 2,4 ; 4,0 ; 1,2 ; 3,6 ; 4,0 ; 4,3 et 4,0.

  Observation Rang

(sans valeurs ex aequo)

Rang
  1,2 1 1
Ex aequo 2,4 2 2,5
2,4 3 2,5
  3,6 4 4
Ex aequo 4,0 5 6
4,0 6 6
4,0 7 6
  4,3 8 8
5,3 9 9

Minitab utilise également les informations suivantes pour calculer les statistiques de test :
  • Le nombre d'ensembles de valeurs ex aequo est 2.
  • Nombre de valeurs ex aequo dans le premier ensemble est 2.
  • Nombre de valeurs ex aequo dans le second ensemble est 3.

Valeur de p

Formule

Le test de Mann-Whitney utilise la méthode d'approximation selon la loi normale pour déterminer la valeur de p du test.

est approximativement distribué selon une loi normale avec une moyenne de 0 et un écart type de 1, N(0,1).

La valeur de p de l'approximation selon la loi normale pour les trois hypothèses alternatives utilise une correction de continuité de 0,5.
Hypothèse alternative Valeur de p
H1 : η1 > η2
H1 : η1 < η2
H1 : η1 ≠ η2
Si vos données contiennent des valeurs ex aequo, Minitab ajuste la valeur de p en remplaçant le dénominateur de la statistique Z ci-dessus par la valeur suivante :

La valeur de p ajustée est généralement plus exacte que la valeur de p non ajustée. Cependant, dans la mesure où cette dernière est toujours supérieure à la valeur de p ajustée pour une paire d'échantillons donnée, la valeur de p non ajustée est l'estimation la plus prudente.

Notation

TermeDescription
WStatistiques de test de Mann-Whitney
neffectif de l'échantillon 1
meffectif de l'échantillon 2
η1médiane de l'échantillon 1
η2médiane de l'échantillon 2
k
i1, 2, …, I
Inombre d'ensembles de valeurs ex aequo
tinombre de valeurs ex aequo dans le ie ensemble de valeurs ex aequo

Estimation ponctuelle

L'algorithme d'approximation utilisé par Minitab pour calculer l'estimation ponctuelle de η1η2 est décrit dans l'article de J.W. McKean et T.A. Ryan Jr (1977), "An Algorithm for Obtaining Confidence Intervals and Point Estimates Based on Ranks in the Two Sample Location Problem", Transactions on Mathematical Software, pp. 183-185.

Intervalle de confiance

L'intervalle de confiance pour la différence η1 – η2 est défini comme l'étendue des valeurs de de η1 – η2 pour lesquelles l'hypothèse nulle n'est pas rejetée.

La méthode utilisée par Minitab pour calculer l'intervalle de confiance est décrite dans l'article de J.W. McKean et T.A. Ryan Jr (1977), "An Algorithm for Obtaining Confidence Intervals and Point Estimates Based on Ranks in the Two Sample Location Problem", Transactions on Mathematical Software, pp. 183-185.

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