Méthodes et formules pour la fonction 2 variances

Sélectionnez la méthode ou la formule de votre choix.

Statistiques d'échantillons

Minitab calcule la moyenne, l'écart type et la variance des deux échantillons.

Formule

L'écart type est égal à la racine carrée de la variance.

Notation

TermeDescription
moyenne de l'échantillon i
S2i variance de l'échantillon i
Xij je mesure du ie échantillon
ni effectif de l'échantillon i

Test pour la méthode de Bonett avec des plans équilibrés

Formule pour la statistique de test

Lorsque n1 = n2 , la statistique de test est Z2. Si l'hypothèse nulle, ρ = ρ0 est vraie, alors Z2 est distribué selon la loi de Khi deux avec 1 degré de liberté. Z2 s'obtient comme suit :

ErT(ρ0) est l'erreur type de l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

ri = ( ni - 3) / ni et est l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

ErT20) peut également s'exprimer en termes de valeurs d'aplatissement de chaque échantillon, , comme suit :

où :

Formule pour la valeur de p

Si z2 est la valeur de Z2 obtenue à partir des données. Dans l'hypothèse nulle, H0 : ρ = ρ0 , Z est distribué selon la loi de distribution normale standard. Donc, les valeurs de p pour les hypothèses alternatives (H1) s'obtiennent comme suit.

Hypothèse Valeur de p
H1 : ρ0 ≠ ρ0 P = 2P(Z > |z|)
H1: ρ0 > ρ0 P = P(Z > z)
H1 : ρ0 < ρ0 P = P(Z < z)

Notation

TermeDescription
Siécart type de l'échantillon i
ρrapport des écarts types de la population
ρ0rapport hypothétisé des écarts types de la population
αseuil de signification pour le test = 1 - (niveau de confiance / 100)
ninombre d'observations dans l'échantillon i
valeur de l'aplatissement pour l'échantillon i
Xijje observation de l'échantillon i
mimoyenne tronquée pour l'échantillon i avec des proportions de troncage de

Test pour la méthode de Bonett avec des plans non équilibrés

Formule

Lorsque n1n2 , il n'existe aucune statistique de test. En revanche, la valeur de p est calculée en inversant la procédure de l'intervalle de confiance. La valeur de p pour le test s'obtient comme suit :

P = 2 min (αL, αU)

où αL est la plus petite valeur de α pour laquelle ce qui suit est vrai :
et αU est la plus petite valeur de α pour laquelle ce qui suit est vrai :

cα est une constante égalisatrice décrite ci-dessous et ErT(ρ0) est l'erreur type pour l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

ri = (ni - 3) / ni et est l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

ErT0) peut également s'exprimer en termes de valeurs d'aplatissement de chaque échantillon. Pour plus d'informations, consultez la section consacrée au test pour la méthode de Bonett avec des plans équilibrés.

Constante égalisatrice

La constante cα est incluse afin d'ajuster légèrement l'échantillon pour réduire l'effet de queues inégales sur le calcul des probabilités d'erreur dans les plans non équilibrés. La valeur de cα s'obtient comme suit :

La constante disparaît lorsque les plans sont équilibrés et son effet devient négligeable lorsque les effectifs d'échantillons augmentent.

Trouver αL et αU

Trouver αL et αU équivaut à trouver les zéros des fonctions L(z , n1 , n2 , S1 , S2 ) et L(z , n2 , n1 , S2 , S1 ), où L(z , n1 , n2 , S1 , S2) s'obtient comme suit :

Soit :
Pour n1 < n2, faites ce qui suit :
  • Calculez zm et évaluez L(z, n1, n2, S1, S2).
    • Si L(zm) 0, trouvez le zéro zL, de L(z, n1, n2, S1, S2) dans l'intervalle et calculez αL = P( Z > zL).
    • Si L(zm) > 0, alors la fonction L(z , n1, n2, S1, S2) n'a pas de zéro, et αL = 0.
Pour n1 > n2, faites ce qui suit :
  • Calculez L(0, n1, n2, S1, S2) = Dans (S12 / S22).
    • Si L(0, n1, n2, S1, S2) 0, puis trouvez le zéro z0, de L(z, n1, n2, S1, S2) dans l'intervalle [0, n2).
    • Si L(0, n1, n2, S1, S2) < 0, trouvez le zéro zL dans l'intervalle .
  • Calculez αL = P( Z > zL).

Pour calculer αU, effectuez les étapes précédentes en utilisant la fonction L(z, n2, n1, S2, S1), au lieu de la fonction L(z, n1, n2, S1, S2).

Notation

TermeDescription
Siécart type de l'échantillon i
ρrapport des écarts types de la population
ρ0rapport hypothétisé des écarts types de la population
αseuil de signification pour le test = 1 - (niveau de confiance / 100)
zαpoint de percentile supérieur α de la loi normale standard
ninombre d'observations dans l'échantillon i
Xijje observation de l'échantillon i
mimoyenne tronquée pour l'échantillon i avec des proportions de troncage de

Intervalle de confiance pour la méthode de Bonett

Formule

Les intervalles de confiance s'obtiennent en inversant la procédure de test. Plus précisément, Minitab résout l'équation suivante pour ρ :

cα/2 est une constante égalisatrice (décrite ci-dessous) et ErT(ρ) est l'erreur type pour l'aplatissement regroupé (décrit ci-dessous). Généralement, cette équation a deux solutions ; L < S1 / S2 et U > S1 / S2. L est la limite de confiance la plus basse, et U est la limite de confiance la plus haute. Pour plus d'informations, consultez le livre blanc sur la méthode de Bonett, qui contient des simulations et d'autres renseignements.

Les limites de confiance pour le taux de variance s'obtiennent en mettant les limites de confiance du rapport des écarts types au carré.

Constante égalisatrice

La constante cα est incluse afin d'ajuster légèrement l'échantillon pour réduire l'effet de queues inégales sur le calcul des probabilités d'erreur dans les plans non équilibrés.

La constante disparaît lorsque les plans sont équilibrés et son effet devient négligeable lorsque les effectifs d'échantillons augmentent.

Erreur type de l'aplatissement regroupé

ErT(ρ) est l'erreur type de l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

ri = (ni - 3) / ni et est l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

ErT(ρ) peut également être exprimé en termes de valeurs d'aplatissement de chaque échantillon. Pour plus d'informations, consultez la section consacrée au test pour la méthode de Bonett avec des plans équilibrés.

Notation

TermeDescription
αseuil de signification pour le test = 1 - (niveau de confiance / 100)
Siécart type de l'échantillon i
ρrapport des écarts types de la population
zα/2point de percentile supérieur α/2 de la loi normale standard
ninombre d'observations dans l'échantillon i
Xijje observation de l'échantillon i
mimoyenne tronquée pour l'échantillon i avec des proportions de troncage de

Test pour la méthode de Levene

Formule

Le test de Levene est adapté pour les données continu. Il n'est pas disponible pour les données résumées.

Pour tester l'hypothèse nulle σ1 / σ2 = ρ avec le test de Levene, Minitab effectue une ANOVA unilatérale sur les valeurs Z1j et ρZ2j (où j = 1, …, n1 ou n2).

La statistique de test de Levene est égale à la valeur de la statistique F dans le tableau de résultats ANOVA. La valeur de p du test de Levene est égale à la valeur de p dans ce tableau ANOVA.

  • H. Levene (1960), Contributions to Probability and Statistics, Stanford University Press, CA.
  • M. B. Brown et A.B. Forsythe (1974), "Robust Tests for the Equality of Variance", Journal of the American Statistical Association, 69, 364–367.

Degrés de liberté

Selon l'hypothèse nulle, la statistique de test suit une distribution F avec les degrés de liberté DL1 et DL2.

DL1 = 1

DL2 = n1 + n2 – 2

Notation

TermeDescription
Zij|Xi j η i|
TermeDescription
j1, 2, …, ni
i1, 2
Xijobservations individuelles
ηimédiane de l'échantillon i
σ1écart type de la première population
σ2écart type de la deuxième population
 1effectif du premier échantillon
 2effectif du deuxième échantillon

Intervalles de confiance pour la méthode de Levene

Formule

Pour les données continues, Minitab calcule les limites de confiance pour le rapport (ρ) entre les écarts types de la population avec les formules suivantes. Pour obtenir les limites pour le rapport entre les variances de la population, mettez les valeurs ci-dessous au carré.

Lorsque vous indiquez une hypothèse alternative Rapport ≠ rapport hypothétisé, un intervalle de confiance à 100(1-α) % pour ρ s'obtient comme suit :
  • Si , limite inférieure =

    Si , aucune limite inférieure n'existe

  • Si , limite supérieure =

    Si , aucune limite supérieure n'existe

Lorsque vous indiquez une hypothèse alternative Rapport < rapport hypothétisé, la limite de confiance supérieure pour ρ, à un niveau de confiance de 100(1-α) %, s'obtient comme suit :
  • Si , alors

  • Si , aucune limite supérieure n'existe
Lorsque vous indiquez une hypothèse alternative Rapport > rapport hypothétisé, la limite de confiance supérieure pour ρ, à un niveau de confiance de 100(1-α) %, s'obtient comme suit :
  • Si , alors

  • Si , aucune limite inférieure n'existe

Notation

TermeDescription
ηimédiane de l'échantillon i
Zijj = 1, 2, ... , ni et i = 1, 2, et Xij sont des observations individuelles
Mimoyenne de Zij
Si2variance de l'échantillon de Zij
vi
ρσ1 / σ2
 1effectif du premier échantillon
 2effectif du deuxième échantillon

Test pour la méthode de test F

Le test F est adapté aux données normales. Pour tester l'hypothèse nulle σ1 / σ2 = ρ avec le test F, Minitab utilise les formules suivantes.

Formule pour la statistique de test

Formule pour les degrés de liberté

Selon l'hypothèse nulle, la statistique F suit une loi de distribution F avec les degrés de liberté DL1 et DL2.

DL1 = n1 – 1

DL2 = n2 – 1

Formule pour la valeur de p

Le calcul de la valeur de p dépend de l'hypothèse alternative comme suit.
  • Pour un test unilatéral avec une hypothèse alternative de type "inférieur à", la valeur de p est égale à la probabilité d'obtenir une statistique F inférieure ou égale à la valeur observée d'après une distribution F avec des degrés de liberté DL1 et DL2.
  • Pour un test bilatéral, où le rapport est inférieur à 1, la valeur de p est égale à deux fois la zone située sous la courbe F, inférieure à la valeur observée selon une distribution F avec des degrés de liberté DL1 et DL2.
  • Pour un test bilatéral, où le rapport est supérieur à 1, la valeur de p est égale à deux fois la zone située sous la courbe F, supérieure à la valeur observée selon une distribution F avec des degrés de liberté DL1 et DL2.
  • Pour un test unilatéral avec une hypothèse alternative de type "supérieur à", la valeur de p est égale à la probabilité d'obtenir une statistique F supérieure ou égale à la valeur observée d'après une distribution F avec des degrés de liberté DL1 et DL2.

Notation

TermeDescription
ρσ1 / σ2
σ1écart type de la première population
σ2écart type de la deuxième population
S21 variance du premier échantillon
S22 variance du deuxième échantillon
 1effectif du premier échantillon
 2effectif du deuxième échantillon

Intervalles de confiance pour la méthode du test F

Lorsque les données suivent une distribution normale, Minitab calcule les bornes de confiance pour le rapport (ρ) entre les écarts types de la population avec les formules suivantes. Pour obtenir les bornes pour le rapport entre les variances de la population, mettez les valeurs ci-dessous au carré.

Formule

Lorsque vous indiquez une hypothèse alternative de type "non égal à", l'intervalle de confiance à 100(1 – α) % pour ρ s'obtient comme suit :

Lorsque vous indiquez une hypothèse alternative de type "inférieur à", la borne de confiance supérieure pour ρ, à un niveau de confiance de 100(1 – α) %, s'obtient comme suit :

Lorsque vous indiquez une hypothèse alternative de type "supérieur à", la borne de confiance inférieure pour ρ, à un niveau de confiance de 100(1 – α) %, s'obtient comme suit :

Notation

TermeDescription
S1écart type du premier échantillon
S2écart type du deuxième échantillon
ρσ1 / σ2
 1effectif du premier échantillon
 2effectif du deuxième échantillon
F(α/2, n2–1, n1–1)α/2 valeur critique provenant de la distribution F avec degrés de liberté n2-1 et n1-1.
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