Méthodes et formules pour les intervalles de tolérance dans Intervalles de tolérance (loi non normale)

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Méthodes d'intervalles de tolérance

Minitab calcule les intervalles de tolérance paramétriques et non paramétriques. Les calculs des intervalles de tolérance non paramétriques supposent uniquement que la distribution parente est continue. Les calculs des intervalles de tolérance paramétriques supposent que la loi parente de l'échantillon est l'une des suivantes :
  • Log-normale
  • Gamma
  • Exponentielle
  • Plus petite valeur extrême
  • Weibull
  • Plus grande valeur extrême
  • Logistique
  • Log-logistique

Définitions générales

Soient X 1, X 2, ..., X n les statistiques ordonnées reposant sur un échantillon aléatoire d'effectif n d'une loi de distribution continue.

Soit la fonction de distribution F(x;θ) pour Ω dans un espace de paramètre avec une dimension supérieure ou égale à 1.

Soient L < U deux statistiques basées sur l'échantillon de sorte que pour toutes les valeurs données α et P, avec 0 < α < 1 et 0 < P < 1, la formule suivante est valide pour tous les θ dans Ω :

Enfin, l'intervalle [L, U] est un intervalle de tolérance bilatéral avec un contenu égal à P x 100 % et un niveau de confiance égal à 100(1 – α) %. Cet intervalle peut être appelé intervalle de tolérance bilatéral (1 – α, P). Par exemple, si α = 0,10 et que P = 0,85, l'intervalle obtenu est appelé intervalle de tolérance bilatéral (90 %, 0,85).

Si L = –∞ et U < +∞,l'intervalle (-∞, U] est appelé borne de tolérance supérieure unilatérale (1 – α, P). Si L > -∞ et U = +∞, l'intervalle [L, +∞) est appelé borne de tolérance inférieure unilatérale (1 – α, P).

Les intervalles de tolérance possèdent les propriétés intéressantes et utiles suivantes :
  • Une borne de tolérance inférieure unilatérale (1 – α, P) est également une borne de tolérance supérieure unilatérale (P, 1 – α).
  • Une borne de confiance inférieure unilatérale (1 – α )100 % du (1 – P)ème percentile de la distribution des données est également une borne de tolérance inférieure unilatérale (1 – α, P). De même, une borne de confiance supérieure unilatérale (1 – α )100 % du P e percentile de la distribution des données est également une borne de tolérance supérieure unilatérale (1 – α , P).
  • Si L et U sont des bornes de tolérance inférieure et supérieure unilatérales (1 – α/2 , (1 + P )/2), alors [ L, U ] est une intervalle de tolérance bilatéral approximatif (1 – α, P). Cette méthode peut être utilisée lorsqu'il est impossible d'obtenir directement des intervalles de tolérance bilatéraux. Les intervalles de tolérance bilatéraux qui en résultent sont généralement conservateurs. Voir Guenther1 et Hahn et Meeker2.
  1. Guenther, W. Montgomery (2004). (1972). Tolerance intervals for univariate distributions. Naval Research Logistics, 19: 309–333.
  2. Hahn G. J. et Meeker W. Q. (1991). Statistical Intervals: A Guide for Practitioners John Wiley & Sons, New York.

Intervalles de tolérance non paramétriques exacts pour les distributions continues

Minitab calcule les intervalles de tolérance non paramétriques exacts (1 – α, P), où 1 – α représente le niveau de confiance et P représente la couverture (pourcentage minimal cible de la population dans l'intervalle). La méthode non paramétrique pour les intervalles de tolérance est une méthode sans loi de distribution. Cela signifie que l'intervalle de tolérance non paramétrique ne dépend pas de la population parent de l'échantillon. Minitab utilise une méthode exacte à la fois pour les intervalles unilatéraux et bilatéraux.

Soient X 1, X 2 , ... , X n les statistiques ordonnées reposant sur un échantillon aléatoire d'une population distribuée de façon continue F(x;θ). D'après les conclusions de Wilks1, 2 et de Robbins3, il est possible de démontrer ce qui suit :

B représente la fonction de répartition de la distribution bêta avec les paramètres a = r et b = ns + 1. Ainsi, ( Xr , Xs ) est un intervalle de tolérance sans distribution car la couverture de l'intervalle présente une distribution bêta avec des valeurs de paramètres connues, qui sont indépendantes de la distribution de la population parente, F(x;θ).

Intervalles unilatéraux

Soit k l'entier le plus grand remplissant la condition suivante :

Y est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n et 1 – P. Il est possible de démontrer (voir Krishnamoorthy et Mathew4) qu'une borne de tolérance inférieure unilatérale (1 – α, P) est donnée par Xk . De même, une borne de tolérance supérieure unilatérale (1 – α, P) est exprimée par X n - k +1. Dans les deux cas, la couverture réelle ou effective est exprimée par P(Y > k).

Intervalles bilatéraux

Soit k l'entier le plus petit remplissant la condition suivante :

V est une variable aléatoire binomiale avec les paramètres n et P. Ainsi,

où F V -1(x) représente la fonction de répartition inverse de V. Il est possible de démontrer (voir Krishnamoorthy et Mathew4) qu'un intervalle de tolérance bilatéral (1 – α, P) peut être donné par ( Xr , Xs ). Minitab choisit s = n - r + 1 de sorte que r = ( nk + 1) / 2. Les deux valeurs r et s sont arrondies à l'entier le plus proche. La couverture réelle ou effective est exprimée par P(V < k – 1).

Notation

TermeDescription
1 – αniveau de confiance de l'intervalle de tolérance
P couverture de l'intervalle de tolérance (pourcentage minimal cible de population dans l'intervalle)
n nombre d'observations dans l'échantillon
  1. Wilks, S. S. (1941). Sample size for tolerance limits on a normal distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 12, 91–96.
  2. Wilks, S. S. (1941). Statistical prediction with special reference to the problem of tolerance limits. The Annals of Mathematical Statistics, 13, 400–409.
  3. Robbins, H. (1944). On distribution-free tolerance limits in random sampling. The Annals of Mathematical Statistics, 15, 214–216.
  4. Krishnamoorthy, K. et Mathew, T. (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. Wiley, Hoboken, NJ.

Loi log-normale

L'intervalle de tolérance pour la loi log-normale utilise les mêmes équations que les intervalles de tolérance pour la loi normale. Les calculs suivent la procédure ci-dessous :
  1. Minitab prend le logarithme népérien des données.
  2. Minitab calcule un intervalle de tolérance pour les données transformées en suivant la procédure propre à l'intervalle de tolérance pour la loi normale.
  3. Minitab élève à la puissance les limites de l'intervalle de tolérance obtenu lors de l'étape précédente pour transformer l'intervalle à l'échelle des données initiales.
Pour les formules qui s'appliquent à la loi normale, reportez-vous à la rubrique Méthodes et formules pour la fonction Intervalles de tolérance (loi normale) et cliquez sur "Intervalles de tolérance exacts pour les lois normales".

Intervalles de tolérance approximatifs pour les lois gamma

L'intervalle de tolérance pour la loi gamma utilise une approximation de la loi normale. Krishnamoorthy et al. mènent des études de simulation qui indiquent que l'approximation fournit des résultats exacts. Les calculs suivent la procédure ci-dessous :

  1. Minitab prend la racine cubique des données.
  2. Minitab calcule un intervalle de tolérance pour les données transformées en suivant la procédure propre à l'intervalle de tolérance pour la loi normale.
  3. Minitab élève à la puissance les limites de l'intervalle de tolérance obtenu lors de l'étape précédente pour transformer l'intervalle à l'échelle des données initiales.
Pour les formules qui s'appliquent à la loi normale, reportez-vous à la rubrique Méthodes et formules pour la fonction Intervalles de tolérance (loi normale) et cliquez sur "Intervalles de tolérance exacts pour les lois normales".
  1. Krishnamoorthy K., Mathew T et Mukherjee S (2008). Normal based methods for a Gamma distribution: prediction and tolerance intervals and stress-strength reliability. Technometrics, 50, 69—78.

Loi exponentielle

Minitab calcule les intervalles de tolérance exacts (1 – α, P), où 1 – α représente le niveau de confiance et P représente la couverture (pourcentage minimal cible de la population dans l'intervalle). Les formules diffèrent entre le calcul des limites de tolérance unilatérales et des intervalles de tolérance bilatéraux.

Limites de tolérance exponentielle unilatérales

La formule suivante permet de calculer la limite inférieure :

La formule suivante permet de calculer la limite supérieure :

Intervalles de confiance exponentiels bilatéraux

Minitab utilise la méthode de Newton pour résoudre le système d'équations ci-dessous. Pour plus de détails, voir Fernandez1.

La formule suivante permet de calculer l'intervalle bilatéral :

et la valeur de k 1 dépend de la résolution du système d'équations suivant :

avec

Notation

TermeDescription
n Effectif de l'échantillon
moyenne de l'échantillon
P pourcentage minimal cible de la population dans l'intervalle
α e percentile de la loi du Khi deux avec 2n degrés de liberté
α 1 - niveau de confiance
fonction de répartition de la loi du Khi deux avec 2n degrés de liberté
  1. Fernandez, Arturo J. (2010). Two-sided tolerance intervals in the exponential case: Corrigenda and generalizations. Computational Statistics and Data Analysis, 54, 151—162.

Loi des plus petites valeurs extrêmes

Minitab calcule les intervalles de tolérance exacts (1 – α, P) en se basant sur les écrits de Lawless1, où 1 – α représente le niveau de confiance et P représente la couverture (pourcentage minimal cible de la population dans l'intervalle).

Limites de tolérance unilatérales exactes pour les plus petites valeurs extrêmes

La formule suivante permet de calculer la limite inférieure :

et x est la racine unique de la fonction suivante :

avec

et Cz est une constante de normalisation définie comme suit :
En outre, la fonction IGn [x] correspond à la fonction gamma incomplète :
La formule suivante permet de calculer la limite supérieure :

La valeur de k 2 provient du remplacement de α par 1 − α et de P par 1 − P dans les formules permettant de calculer k 1.

Intervalles de tolérance bilatéraux approximatifs pour les plus petites valeurs extrêmes

Pour calculer l'intervalle bilatéral approximatif, remplacez α par α/2 et P par (P + 1)/2 dans les formules permettant de calculer les limites de tolérance unilatérales.

Notation

TermeDescription
estimation par le maximum de vraisemblance du paramètre d'emplacement pour la loi des valeurs extrêmes
estimation par le maximum de vraisemblance du paramètre d'échelle pour la loi des valeurs extrêmes
, observations centrées en fonction des estimations EMaxV des paramètres d'emplacement et d'échelle de la loi des plus petites valeurs extrêmes
t α e percentile de la loi T non-centrée avec n − 1 degrés de liberté et le paramètre de non-centralité δP
1 - α niveau de confiance de l'intervalle de tolérance
P couverture de l'intervalle de tolérance (pourcentage minimal cible de population dans l'intervalle)
n nombre d'observations dans l'échantillon
  1. Lawless, J. F. (1975). Construction of tolerance bounds for the extreme-value and the Weibull distribution. Technometrics, 17, 255—261.

Loi de Weibull

L'intervalle de tolérance pour la loi de Weibull utilise les mêmes équations que les intervalles de tolérance pour la loi des plus petites valeurs extrêmes. Les calculs suivent la procédure ci-dessous :
  1. Minitab prend le logarithme népérien des données.
  2. Minitab calcule un intervalle de tolérance pour les données transformées en suivant la procédure propre à l'intervalle de tolérance pour la loi des plus petites valeurs extrêmes.
  3. Minitab élève à la puissance les limites de l'intervalle de tolérance obtenu lors de l'étape précédente pour transformer l'intervalle à l'échelle des données initiales.
Pour les formules qui s'appliquent à la loi des plus petites valeurs extrêmes, reportez-vous à la section relative à cette loi.

Loi des plus grandes valeurs extrêmes

L'intervalle de tolérance pour la loi des plus grandes valeurs extrêmes utilise les mêmes équations que les intervalles de tolérance pour la loi des plus petites valeurs extrêmes. Les calculs suivent la procédure ci-dessous 
  1. Minitab multiplie les données par −1.
  2. Minitab calcule une tolérance pour les données transformées en suivant la procédure propre à l'intervalle de tolérance pour la loi des plus petites valeurs extrêmes.
  3. Minitab élève à la puissance les limites de l'intervalle de tolérance obtenu lors de l'étape précédente pour transformer l'intervalle à l'échelle des données initiales.

Pour les formules qui s'appliquent à la loi des plus petites valeurs extrêmes, reportez-vous à la section relative à cette loi.

Loi de distribution logistique

Minitab calcule les intervalles de tolérance approximatifs (1 – α, P) en se basant sur les écrits de Bain et Engelhardt1, où 1 – α représente le niveau de confiance et P représente la couverture (pourcentage minimal cible de la population dans l'intervalle). Les formules diffèrent entre le calcul des limites de tolérance unilatérales et des intervalles de tolérance bilatéraux.

Limites de tolérance logistique unilatérales

Cette formule permet de calculer la limite inférieure :
Cette formule permet de calculer la limite supérieure :
Cette formule permet de calculer le facteur de tolérance, k, dans les formules suivantes pour les limites :

Intervalles de tolérance logistique bilatéraux

Pour calculer l'intervalle bilatéral approximatif, remplacez α par α/2 et P par (P + 1)/2 dans les formules permettant de calculer les limites de tolérance unilatérales.

Notation

TermeDescription
nnombre d'observations dans l'échantillon
z1−αpercentile 1 - α de la loi normale standard
q1–Ppercentile 1 – P de la loi logistique standard
C11
C22
C12
estimation par le maximum de vraisemblance du paramètre d'emplacement logistique
estimation par le maximum de vraisemblance du paramètre d'échelle logistique
  1. Bain, L. et Englehardt, M. (1991). Statistical analysis of reliability and life testing models: Theory and Methods. Second edition, Marcel Dekker, Inc.

Loi log-logistique

L'intervalle de tolérance pour la loi log-logistique utilise les mêmes équations que les intervalles de tolérance pour la loi logistique. Les calculs suivent la procédure ci-dessous :
  1. Minitab prend le logarithme népérien des données.
  2. Minitab calcule un intervalle de tolérance pour les données transformées en suivant la procédure propre à l'intervalle de tolérance pour la loi logistique.
  3. Minitab élève à la puissance les limites de l'intervalle de tolérance obtenu lors de l'étape précédente pour transformer l'intervalle à l'échelle des données initiales.

Pour les formules qui s'appliquent à la loi logistique, reportez-vous à la section relative à cette loi.

Test d'Anderson-Darling

Minitab utilise les statistiques d'Anderson-Darling pour effectuer le test d'adéquation de l'ajustement.

Soit Z = F(X), où F(X) représente la fonction de répartition. Supposons qu'un échantillon X1, .., Xn donne les valeurs Z(i) = F(Xi), i=1,.., n. Triez Z(i) par ordre croissant, Z(1) < Z(2) <...<Z(n). La statistique d'Anderson-Darling (A2) isest alors calculée comme suit :

  • A2 = –n - (1/n) Σi[(2i – 1) log Z(i) + (2n + 1 – 2i) log (1 – Z(i))]

La statistique du test d'adéquation de l'ajustement d'Anderson-Darling modifiée est calculée pour chaque loi. Les valeurs de p sont basées sur le tableau présenté par D'Agostino et Stephens.1 Si le tableau ne contient aucune valeur de p exacte, Minitab calcule la valeur de p basée sur l'interpolation à l'aide de l'étendue de la valeur de p.

1 R.B. D'Agostino et M.A. Stephens (1986). Goodness-of-fit techniques. Marcel Dekker.
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