Lois de distribution pour les intervalles de tolérance (loi non normale)

Obtenez des définitions et bénéficiez de conseils en matière d'interprétation pour les lois de distribution dans les intervalles de tolérance pour les loi non normales.

Loi log-normale

Utilisez la loi log-normale si le logarithme d'une variable aléatoire suit une loi normale. Utilisez-la lorsque les variables aléatoires sont supérieures à 0. La loi log-normale est souvent utilisée dans le cadre d'analyses de fiabilité et dans le domaine de la finance, pour modéliser le comportement d'actions par exemple.

La loi log-normale est une loi de distribution continue définie par ses paramètres d'emplacement et d'échelle. La loi log-normale à 3 paramètres est définie par ses paramètres d'emplacement, d'échelle et de seuil.

La forme de la loi log-normale est semblable à celle des lois log-logistique et de Weibull. Par exemple, le graphique suivant présente une loi log-normale ayant une échelle de 1,0, un emplacement de 0,0 et un seuil de 0,0.

Loi gamma

La loi gamma permet de modéliser des valeurs positives qui sont approximativement asymétriques vers la droite et supérieures à 0. Elle est souvent utilisée dans les études de fiabilité/survie. Par exemple, elle permet de décrire le temps avant défaillance d'un composant électrique. La plupart des composants électriques d'un type particulier tombent en panne à peu près au même moment, mais certains mettent plus de temps.

La loi gamma est une loi de distribution continue définie par ses paramètres de forme et d'échelle. La loi gamma à 3 paramètres est définie par ses paramètres de forme, d'échelle et de seuil. Par exemple, dans le graphique ci-dessous, la loi gamma est définie par des valeurs de forme et d'échelle différentes lorsque le seuil est défini sur 0,0. Vous pouvez remarquer que la plupart des valeurs d'une loi gamma sont proches les unes des autres, mais que certaines se trouvent dans l'extrémité supérieure.

Lorsque le paramètre de forme est un entier positif, la loi gamma est parfois appelée loi d'Erlang. La loi d'Erlang est fréquemment utilisée dans le domaine de la théorie des files d'attente.

Loi exponentielle

Utilisez la loi exponentielle pour modéliser le temps écoulé entre des événements dans un procédé de Poisson continu. Nous considérons que les événements indépendants surviennent à une fréquence constante.

Cette loi a une multitude d'applications, dont les analyses de fiabilité des produits et des systèmes, la théorie des files d'attente et les chaînes de Markov.

Par exemple, la loi exponentielle peut être utilisée pour modéliser les éléments suivants :
  • Le temps avant défaillance de composants électroniques
  • L'intervalle de temps entre les arrivées des clients à un guichet
  • Le temps avant que les clients de la file d'attente ne soient servis
  • Le temps avant un défaut de paiement (modélisation du risque de crédit)
  • Le temps de demie-vie d'une substance radioactive
La loi exponentielle à 2 paramètres est caractérisée par ses paramètres d'échelle et de seuil. Le paramètre de seuil θ, s'il est positif, décale la loi d'une distance θ vers la droite. Par exemple, vous souhaitez étudier la défaillance d'un système avec θ = 5. Cela signifie que les défaillances ne commencent à se produire qu'après 5 heures de fonctionnement et ne peuvent pas se produire avant. Dans le graphique suivant, le paramètre de seuil θ est égal à 5 et décale la distribution de 5 unités vers la droite.

Pour la loi exponentielle à 1 paramètre, le seuil est de zéro et la loi est définie par son paramètre d'échelle. Pour la loi exponentielle à 1 paramètre, le paramètre d'échelle est égal à la moyenne.

Que signifie l'absence de mémoire ?

La loi exponentielle se caractérise essentiellement par son absence de mémoire. La probabilité d'occurrence d'un événement ne dépend pas des essais précédents. De ce fait, le taux d'occurrence reste constant.

Cette absence de mémoire indique que la durée de vie restante d'un composant ne dépend pas de l'âge qu'il a actuellement. Une série de lancers de pièce aléatoires est un exemple d'essais avec absence de mémoire. Un système exposé à une usure normale et qui présente de ce fait un plus grand risque de défaillances pour la suite n'est pas sans mémoire.

Lois de distribution des plus grandes et des plus petites valeurs extrêmes

Les lois de distribution des plus grandes et des plus petites valeurs extrêmes sont étroitement liées. Par exemple, si X suit une loi des plus grandes valeurs extrêmes, −X suit une loi des plus petites valeurs extrêmes, et vice versa.

Loi des plus petites valeurs extrêmes

La loi des plus petites valeurs extrêmes est définie par ses paramètres d'emplacement et d'échelle. Utilisez la loi des plus petites valeurs extrêmes pour modéliser la valeur minimale d'une loi de distribution d'observations aléatoires. La loi des plus petites valeurs extrêmes est fréquemment utilisée pour modéliser la durée de fonctionnement avant défaillance d'un système qui tombe en panne lorsque son composant le plus faible rencontre une défaillance. La distribution des plus petites valeurs extrêmes décrit des phénomènes extrêmes, tels que les températures minimales et les précipitations pendant une sécheresse. La loi de distribution des plus petites valeurs extrêmes est asymétrique à gauche. Par exemple, la loi représentant la résistance à la rupture d'une chaîne est souvent asymétrique vers la gauche, car la chaîne se rompt lorsque le maillon le plus faible cède. Cette loi regroupe les quelques échantillons les plus fragiles à gauche et une majorité de résistances dans l'extrémité supérieure.

Loi des plus grandes valeurs extrêmes

La loi des plus grandes valeurs extrêmes est définie par ses paramètres d'emplacement et d'échelle. Utilisez la loi des plus grandes valeurs extrêmes pour modéliser la valeur maximale d'une loi de distribution d'observations aléatoires. La loi de distribution des plus grandes valeurs extrêmes décrit des phénomènes extrêmes, tels que des vecteurs vent excessifs, des sinistres de grande ampleur. La loi de distribution des plus grandes valeurs extrêmes est asymétrique à droite. Par exemple, la loi de distribution des niveaux d'une rivière dans le temps est souvent asymétrique à droite, avec quelques cas de niveaux extrêmes à droite et une majorité de niveaux dans l'extrémité inférieure.

Loi de Weibull

La loi de Weibull est une loi de distribution polyvalente ayant de nombreuses applications dans les domaines de l'ingénierie, de la recherche médicale, du contrôle de la qualité, des finances et de la climatologie. Par exemple, elle est fréquemment utilisée dans le cadre des analyses de fiabilité pour modéliser la durée de fonctionnement avant défaillance. La loi de Weibull permet également de modéliser les données de processus asymétriques dans les analyses de capabilité.

La loi de Weibull est caractérisée par ses paramètres de forme, d'échelle et de seuil, et est également connue sous le nom de loi de Weibull à 3 paramètres. Lorsque le paramètre de seuil est nul, on parle de "loi de Weibull à 2 paramètres". La loi de Weibull à 2 paramètres est uniquement définie pour des variables positives. Une loi de Weibull à 3 paramètres peut fonctionner avec des données nulles et négatives, mais toutes les données d'une loi de Weibull à 2 paramètres doivent être positives.

La loi de Weibull peut prendre diverses formes selon la valeur de ses paramètres.

Effet du paramètre de forme
Le paramètre de forme décrit le mode de distribution de vos données. Une forme de 3 produit une courbe presque normale. Une valeur de forme faible (par exemple 1) donne une courbe asymétrique à droite. Une valeur de forme élevée (par exemple 10) donne une courbe asymétrique à gauche.
Effet du paramètre d'échelle
L'échelle, ou durée de vie caractéristique, correspond au 63,2e percentile des données. L'échelle définit la position de la courbe de Weibull par rapport au seuil, de la même façon que la moyenne définit la position d'une courbe normale. Une échelle de 20, par exemple, indique que 63,2 % de l'équipement tombera en panne dans les 20 heures suivant le moment seuil.
Effet du paramètre de seuil
Le paramètre de seuil décrit le décalage de la loi par rapport à 0. Un seuil négatif décale la distribution vers la gauche, tandis qu'un seuil positif décale la distribution vers la droite. Toutes les données doivent être supérieures à la valeur de seuil. La loi de Weibull à 2 paramètres est semblable à la loi de Weibull à 3 paramètres, mais avec un seuil de 0. Par exemple, une loi de Weibull à 3 paramètres (3,100,50) a la même forme et la même dispersion qu'une loi de Weibull à 2 paramètres (3,100), mais est décalée de 50 unités vers la droite.

Loi de distribution logistique

Utilisez la loi logistique pour modéliser des lois de données dont les extrémités sont plus longues et les aplatissements plus élevés que dans la loi normale.

La loi de distribution logistique est une loi de distribution continue définie par ses paramètres d'échelle et d'emplacement. La loi de distribution logistique ne possède pas de paramètre de forme ; par conséquent, la fonction de densité de probabilité ne présente qu'une forme. La forme de la loi de distribution logistique est semblable à celle de la loi normale. Toutefois, la loi de distribution logistique présente des extrémités plus longues.
Effet sur le paramètre d'échelle
Le graphique suivant illustre l'effet de différentes valeurs de paramètre d'échelle sur la loi de distribution logistique.
Effet du paramètre d'emplacement
Le graphique suivant illustre l'effet de différentes valeurs de paramètre d'emplacement sur la loi de distribution logistique.

Loi log-logistique

Utilisez la loi log-logistique lorsque le logarithme de la variable est distribué de manière logistique. Par exemple, la loi log-logistique est utilisée pour les modèles de croissance et pour modéliser des réponses binaires dans des domaines tels que la biostatistique et l'économie.

La loi log-logistique est une loi de distribution continue définie par ses paramètres d'emplacement et d'échelle. La loi log-logistique à 3 paramètres est définie par ses paramètres d'emplacement, d'échelle et de seuil.

Le graphique suivant présente une loi log-logistique ayant une échelle de 1,0, un emplacement de 0,0 et un seuil de 0,0.

La loi log-logistique est également connue sous le nom de loi de Fisk.

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