Méthodes et formules pour le diagramme de probabilité pour la fonction Identification de loi individuelle

Diagramme de probabilité

Les diagrammes de probabilité se composent des éléments suivants :

  • Des points, qui sont les percentiles estimés des probabilités correspondantes d'un ensemble de données trié.
  • Des lignes centrales, qui représentent le percentile attendu de la loi, en fonction des estimations des paramètres par le maximum de vraisemblance. Si la loi est un bon ajustement pour les données, les points s'alignent le long de la ligne centrale.

Probabilités estimées

Minitab estime la probabilité (P) utilisée pour calculer les points du diagramme à l'aide des méthodes suivantes.

  • Rang de médiane (méthode de Benard)
  • Rang de moyenne (estimation de Herd-Johnson)
  • Kaplan-Meier modifié (Hazen)
  • Estimateur produit-limite de Kaplan-Meier

Notation

TermeDescription
nNombre d'observations
iRang de la ième observation ordonnée x(i), où x(1), x(2), ... x(n) représentent les statistiques d'ordre ou les données rangées par ordre croissant

Points de diagramme

La ligne centrale du diagramme de probabilité est construite à l'aide des calculs des coordonnées x et y de ce tableau.

Loi de distribution Coordonnée x Coordonnée y
Plus petite valeur extrême x ln(–ln(1 – p))
Plus grande valeur extrême x ln(–ln p)
Weibull ln(x) ln(–ln(1 – p))
Weibull à 3 paramètres ln(x – seuil) ln(–ln(1 – p))
Exponentielle ln(x) ln(–ln(1 – p))
Exponentielle à 2 paramètres ln(x – seuil) ln(–ln(1 – p))
Normale x Φ–1normale
Log-normale ln(x) Φ–1normale
Log-normale à 3 paramètres ln(x – seuil) Φ–1normale
Logistique x
Log-logistique ln(x)
Log-logistique à 3 paramètres ln(x – seuil)
Gamma x Φ–1gamma
Gamma à 3 paramètres ln(x – seuil) Φ–1gamma
Remarque

Comme les points du diagramme ne dépendent d'aucune loi de distribution, ils sont identiques (avant d'être transformés) pour tout diagramme de probabilité. En revanche, la droite d'ajustement change en fonction de la loi de distribution paramétrique choisie.

Notation

TermeDescription
pprobabilité estimée
Φ-1normalevaleur renvoyée pour p par la fonction de répartition inverse de la loi normale standard
Φ-1gammavaleur renvoyée pour p par la fonction de répartition inverse de la loi gamma incomplète
ln(x)logarithme népérien de x

Percentiles et erreur type de percentiles

Un percentile est une valeur sur une échelle de 100, qui indique le pourcentage de la loi inférieur ou égal à cette valeur. Par défaut, Minitab affiche des tableaux de percentiles pour l'analyse de répartition paramétrique des percentiles courants.

L'erreur type des estimations de percentiles est égale à la racine carrée de la variance.

, , , , , , , , et représentent les variances et les covariances des estimations par le maximum de vraisemblance des valeurs μ, σ, α, β, λ et θ extraites de l'élément approprié de l'inverse de la matrice d'informations de Fisher.

Les formules utilisées pour les estimations des percentiles et des variances sont les suivantes :

Loi des plus petites valeurs extrêmes

Percentile
Variance

où zp = ln[–ln(1 – p)], la CDF inverse de la loi des plus petites valeurs extrêmes

Loi des plus grandes valeurs extrêmes

Percentile
Variance

où zp = ln[–-ln(p)], la CDF inverse de la loi des plus grandes valeurs extrêmes

Loi de Weibull

Percentile
Variance

où zp = ln[–ln(1 – p)], la CDF inverse de la loi des plus petites valeurs extrêmes

Loi de Weibull à 3 paramètres

Percentile
Variance

où zp = ln[–ln(1 – p)], la CDF inverse de la loi des plus petites valeurs extrêmes

Loi exponentielle

Percentile
Variance

Loi exponentielle à 2 paramètres

Percentile
Variance

Loi normale

Percentile
Variance

où zp est la CDF inverse de la loi normale

Loi log-normale

Percentile
Variance

où zp est la CDF inverse de la loi normale

Loi log-normale à 3 paramètres

Percentile
Variance

où zp est la CDF inverse de la loi normale

Loi de distribution logistique

Percentile
Variance

où zp = ln[p/(1 – p)], la CDF inverse de la loi de distribution logistique

Loi log-logistique

Percentile
Variance

où zp = ln[p/(1 – p)], la CDF inverse de la loi de distribution logistique

Loi log-logistique à 3 paramètres

Percentile
Variance

où zp = ln[p/(1 – p)], la CDF inverse de la loi de distribution logistique

Loi gamma

Percentile
Variance

est l'inverse de la loi gamma incomplète régularisée

Loi gamma à 3 paramètres

Percentile
Variance

est l'inverse de la loi gamma incomplète régularisée

Limites de confiance des percentiles

Loi de distribution Limites de confiance
Plus petite valeur extrême
Plus grande valeur extrême
Normale
Logistique
Weibull
Exponentielle
Log-normale
Log-logistique
Weibull à 3 paramètres
Si λ < 0 :
Si λ ≥ 0 :
Exponentielle à 2 paramètres
Si λ < 0 :
Si λ ≥ 0 :
Log-normale à 3 paramètres
Si λ < 0 :
Si λ ≥ 0 :
Log-logistique à 3 paramètres
Si λ < 0 :
Si λ ≥ 0 :

Notation

TermeDescription
Kγpercentile (1 + γ) / 2 d'une loi normale standard
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