Qu'est-ce qu'une fonction de répartition inverse (CDF inverse) ?

La fonction de répartition inverse indique la valeur associée à une probabilité cumulée spécifique. La CDF inverse vous permet de déterminer la valeur de la variable associée à une probabilité spécifique.

Exemple d'utilisation de la fonction de répartition inverse permettant de déterminer les périodes de garantie

Par exemple, un fabricant d'appareils analyse les moments de défaillance de l'élément chauffant qui équipe les grille-pain. Il souhaite déterminer le moment auquel des proportions spécifiques d'éléments chauffants tombent en panne de manière à définir la période de garantie. Les moments de défaillance de l'élément chauffant suivent une loi normale avec une moyenne de 1 000 heures et un écart type de 300 heures. La fonction de densité de probabilité (PDF) permet de déterminer des zones de forte et de faible probabilité de défaillance pour les valeurs d'une variable aléatoire. La CDF inverse fournit quant à elle le moment de défaillance correspondant à chaque probabilité cumulée.

La CDF inverse vous permet d'estimer le moment avant lequel 5 % des éléments chauffants tombent en panne, les moments entre lesquels 95 % de tous les éléments chauffants tombent en panne ou le moment auquel seuls 5 % des éléments chauffants demeurent intacts. La CDF inverse des probabilités cumulées spécifiques est égale au moment de défaillance indiqué à l'extrémité droite de l'aire colorée sous la courbe PDF.

Déterminer le moment auquel 5 % des éléments tomberont en panne

  1. Sélectionnez Calc > Lois de probabilité > Normale.
  2. Sélectionnez Probabilité cumulée inverse. Dans la zone Moyenne, saisissez 1000. Dans la zone Ecart type, saisissez 300. Dans la zone Constante d'entrée, saisissez 0,05.
  3. Cliquez sur OK.

Le moment auquel 5 % des éléments chauffants doivent déjà être tombés en panne correspond à la CDF inverse de 0,05, soit 506,544 heures.

Ce diagramme présente la CDF inverse.

Déterminer les moments entre lesquels 95 % des éléments tomberont en panne

  1. Sélectionnez Calc > Lois de probabilité > Normale.
  2. Sélectionnez Probabilité cumulée inverse. Dans la zone Moyenne, saisissez 1000. Dans la zone Ecart type, saisissez 300. Dans la zone Constante d'entrée, saisissez 0,025. Cliquez sur OK.

    Le moment auquel 2,5 % des éléments chauffants devraient déjà être tombés en panne correspond à la CDF inverse de 0,025, soit 412 heures.

  3. Répétez l'étape 2, mais saisissez 0.975 au lieu de 0.025. Cliquez sur OK.
    Le moment auquel 97,5 % des éléments chauffants devraient déjà être tombés en panne correspond à la CDF inverse de 0,975, soit 1588 heures.

Ainsi, les moments entre lesquels 95 % de tous les éléments chauffants devraient tomber en panne correspondent aux CDF inverses de 0,025 et 0,975, soit 412 et 1 588 heures.

Ce diagramme présente la CDF inverse.

Déterminer le moment auquel 5 % des éléments demeurent intacts

  1. Sélectionnez Calc > Lois de probabilité > Normale.
  2. Sélectionnez Probabilité cumulée inverse. Dans la zone Moyenne, saisissez 1000. Dans la zone Ecart type, saisissez 300. Dans la zone Constante d'entrée, saisissez 0,95.
  3. Cliquez sur OK.

Le moment auquel uniquement 5 % des éléments chauffants doivent demeurer intacts correspond à la CDF inverse de 0,95, soit 1493 heures.

Ce diagramme présente la CDF inverse.

Exemple d'utilisation de la CDF et de la CDF inverse avec la loi hypergéométrique

Lorsque vous tentez de déterminer la probabilité cumulée inverse d'une loi de probabilité discrète, le résultat contient deux ensembles de colonnes.

Supposez que vous disposez de la probabilité cumulée inverse d'une proportion p. Le premier ensemble de colonnes dans les résultats indique la valeur x la plus élevée pour laquelle P(X ≤ x) ≤ p. Le deuxième ensemble de colonnes répertorie la valeur x la plus faible pour laquelle P(X ≤ x) ≥ p.

La probabilité cumulée d'une loi hypergéométrique

  1. Dans le colonne C1 de la feuille de travail, saisissez 0 1 2.
    C1
    0
    1
    2
  2. Sélectionnez Calc > Lois de probabilité > Hypergéométrique.
  3. Sélectionnez Probabilité cumulée.
  4. Dans la zone Effectif de la population (N), saisissez 20000.
  5. Dans la zone Nombre d'événements de la population (M), saisissez 2000.
  6. Dans la zone Effectif d'échantillon (n), saisissez 20.
  7. Sélectionnez Colonne d'entrée et saisissez C1. Cliquez sur OK.
Ces résultats sont affichés dans la fenêtre Session :

Fonction de répartition

Hypergéométrique avec N = 20000, M = 2000 et n = 20 x P( X ≤ x ) 0 0,121448 1 0,391619 2 0,676941
Vous pouvez interpréter les résultats comme suit :
  • P(X ≤ 0) = 0,121448. La probabilité d'obtenir 0 défaut est d'environ 12 %.
  • P(X ≤ 1) = 0,391619. La probabilité d'obtenir 0 ou 1 défaut est d'environ 39 %.
  • P(X ≤ 2) = 0,676941. La probabilité d'obtenir 0, 1 ou 2 défauts est d'environ 68 %.

Calculer la probabilité cumulée inverse d'une loi hypergéométrique

Maintenant que vous connaissez les probabilités cumulées associées au nombre de défaut, calculez la probabilité cumulée inverse.

Supposez que vous voulez calculer le nombre x de défauts pour lequel la probabilité cumulée p est de 0,50. Grâce aux résultats précédents, vous savez que P(X ≤ 1) = 0,391619 et que P(X ≤ 2) = 0,676941. Puisque la loi hypergéométrique est une loi de probabilité discrète, le nombre de défauts ne peut pas être compris entre 1 et 2. Autrement dit, vous pouvez obtenir 1 ou 2 défauts, mais pas 1,4. Par conséquent, si vous sélectionnez Constante d'entrée et que vous saisissez 0,50, Minitab calcule les deux probabilités dans les résultats de la fenêtre Session, comme indiqué dans l'exemple suivant :

  1. Sélectionnez Calc > Lois de probabilité > Hypergéométrique.
  2. Sélectionnez Probabilité cumulée inverse.
  3. Dans la zone Effectif de la population (N), saisissez 20000.
  4. Dans la zone Nombre d'événements de la population (M), saisissez 2000.
  5. Dans la zone Effectif d'échantillon (n), saisissez 20.
  6. Sélectionnez Constante d'entrée et saisissez 0,50. Cliquez sur OK.
Ces résultats sont affichés dans la fenêtre Session :

Fonction de répartition inverse

Hypergéométrique avec N = 20000, M = 2000 et n = 20 x P( X ≤ x ) x P( X ≤ x ) 1 0,391619 2 0,676941

La première probabilité indique une valeur de x pour laquelle P(X ≤ x) < p, et la deuxième probabilité indique la plus petite valeur de x pour laquelle P(X ≤ x) ≥ p. Dans cet exemple, la première probabilité montre le nombre le plus élevé de défectueux (x = 2), pour lequel P(X ≤ 2) < 0,5, et la 2e probabilité montre le nombre le plus faible de défectueux (x = 3) pour lequel P(X ≤ 3) ≥ 0,5.

Utiliser la CDF inverse pour calculer des valeurs critiques

Vous pouvez utiliser Minitab pour calculer une valeur critique pour un test d'hypothèse au lieu de consulter un tableau.

Supposez que vous effectuez le test du Khi deux avec un α de 0,02 et 12 degrés de liberté. Quelle est la valeur critique correspondante ? Un α de 0,02 correspond à une valeur de probabilité cumulée de 1 – 0,02 = 0,98.

  1. Sélectionnez Calc > Lois de probabilité > Khi deux.
  2. Sélectionnez Probabilité cumulée inverse.
  3. Dans la zone Degrés de liberté, saisissez 12.
  4. Sélectionnez Constante d'entrée et saisissez 0,98.
  5. Cliquez sur OK.

Minitab affiche la valeur critique, 24,054, dans la fenêtre Session. Pour le test du Khi deux, si la statistique du test est supérieure à la valeur critique, vous pouvez conclure que la preuve statistique permet de rejeter l'hypothèse nulle.

Remarque

Cet exemple utilise la loi du Khi deux. Toutefois, vous devez suivre les mêmes étapes pour toute loi que vous sélectionnez.

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