Méthodes pour la fonction Etude de stabilité pour des lots aléatoires

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Modèle mixte et log de vraisemblance

Forme générale du modèle mixte

Les modèles à effets mixtes contiennent des effets fixes et aléatoires. La forme générale du modèle à effets mixtes est la suivante :

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

Notation

TermeDescription
yvecteur n x 1 des valeurs de réponse
Xmatrice de plan n x p pour les effets fixes, pn
Zimatrice de plan n x mi pour le ie effet aléatoire du modèle
βvecteur p x 1 de paramètres inconnus
μiun vecteur mi x 1 de variables indépendantes issus d'une loi N(0, σ2i)
εvecteur n x 1 de variables indépendantes issues d'une loi N(0, σ2i)
cnombre d'effets aléatoires dans le modèle

Formes particulières du modèle mixte

L'étude de stabilité ajuste deux modèles avec un facteur de lot aléatoire. Le plus grand modèle contient la durée, le facteur de lot aléatoire et l'interaction aléatoire entre la durée et le lot.

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ε

Le plus petit modèle contient la durée et le facteur de lot aléatoire.

y =+ Z1μ1 + ε

La matrice de variance/covariance générale du vecteur de réponse, y, est définie comme suit :

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c sont appelés des composantes de la variance.

En factorisant la variance, vous pouvez trouver une représentation de H(θ), qui se trouve dans le calcul du log de vraisemblance des modèles mixtes.

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

Lorsque le lot est un facteur aléatoire, les estimations du paramètre inconnu sont obtenues par minimisation du négatif du logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. Cette minimisation revient à maximiser le logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. La fonction à minimiser est la suivante :

Notation

TermeDescription
nnombre d'observations
pnombre de paramètres dans β, 2 pour les études de stabilité
σ2composante de variance pour l'erreur
Xmatrice de plan pour les termes fixes, la constante et le terme temporel
H(θ)In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
Inmatrice d'identité avec n lignes et colonnes
θirapport de la variance du ie terme aléatoire sur celle de l'erreur
Zimatrice n x mi des codages connus pour le ie effet aléatoire du modèle
 minombre de niveaux pour le ie effet aléatoire
cnombre d'effets aléatoires dans le modèle
|H(θ)|déterminant de H(θ)
X'transposition de X
H-1(θ)inverse de H(θ)

Transformation de Box-Cox

La transformation de Box-Cox sélectionne les valeurs lambda (comme indiqué ci-dessous) qui minimisent la somme des carrés des valeurs résiduelles. La transformation obtenue est Y λ lorsque λ ≠ 0, et ln(Y) lorsque λ = 0. Lorsque λ < 0, Minitab multiplie également la réponse transformée par −1 pour conserver l'ordre de la réponse non transformée.

Minitab recherche une valeur optimale entre −2 et 2. Les valeurs en dehors de cet intervalle sont susceptibles de ne pas fournir un meilleur ajustement.

Voici quelques transformations courantes dans lesquelles Y′ représente la transformation des données Y :

Valeur lambda (λ) Transformation
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0,5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0,5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

Sélection du modèle pour un lot aléatoire

La sélection du modèle détermine si la durée de stockage et l'effet temporel dépendent du lot. Minitab évalue les trois modèles suivants, dans l'ordre :
  1. Durée + Lot + Lot*Durée (pentes et ordonnées à l'origine inégales pour les lots)
  2. Durée + Lot (pentes égales et ordonnées à l'origine inégales pour les lots)
  3. Durée (pentes et ordonnées à l'origine égales pour les lots)

Si l'interaction Lot*Durée est significative, l'analyse ajuste le premier modèle. Si l'interaction n'est pas significative mais que le terme Lot l'est dans le deuxième modèle, l'analyse ajuste le deuxième modèle. Sinon, l'analyse ajuste le troisième modèle.

Le test permettant de déterminer si les lots doivent être regroupés est légèrement différent de celui qui détermine si le terme Lot doit être inclus, bien que les deux dépendent de la loi du Khi deux. Les formules des statistiques de test et des valeurs de p sont les suivantes.

Test entre le modèle 1 et le modèle 2

différence = −2L2 − (−2L1)

p = 0,5 * Prob(χ21 > différence) + 0,5 * Prob(χ22 > différence)

Test entre le modèle 2 et le modèle 3

différence = −2L3 − (−2L2)

p = 0,5 * Prob(χ21 > différence)

Notation

TermeDescription
Lalog de vraisemblance pour le modèle a
pvaleur de p du test
Prob(χ21 > différence)probabilité qu'une variable aléatoire suivant une loi du Khi deux à 1 degré de liberté soit supérieure à la différence
Prob(χ22 > différence)probabilité qu'une variable aléatoire suivant une loi du Khi deux à 2 degrés de liberté soit supérieure à la différence

Références

  1. Searle, S.R., Casella, G. et McCuloch, C.E. (1992), Variance Components
  2. West, B.T., Welch, K.B. et Galecki, A.T. (2007), Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software.
  3. Chow, S. (2007), Statistical Design and Analysis of Stability Studies.
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