Méthodes et formules pour les statistiques X et Y dans PLS (moindres carrés partiels)

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Scores X

Les scores X sont des combinaisons linéaires de termes, semblables aux scores principaux de composantes. Les scores Y forment une matrice n × m des colonnes non corrélées. Fournissant une fenêtre sur l'espace X, les scores X sont des projections des observations des composantes PLS. PLS ajuste les scores X, qui remplacent les termes d'origine dans les données, suivant l'estimation des moindres carrés.

Formule

Notation

TermeDescription
nnombre d'observations
mnombre de composantes
i observations de 1 à n
jtermes de 1 à p
X matrice du plan
Wmatrice de pondération X

Contributions X

Les contributions X sont des coefficients linéaires qui lient les termes aux scores X ; elles sont semblables aux vecteurs propres dans l'analyse des composantes principales. Les valeurs de contribution indiquent l'importance du terme correspondant pour la me composante. Les contributions X forment une matrice p × m.

Formule

Notation

TermeDescription
pnombre de termes
mnombre de composantes
iobservations de 1 à n
jtermes de 1 à p
t scores X
X prédicteurs

Pondérations X

Les pondérations X décrivent la covariance entre les termes et les réponses. Dans l'algorithme, les pondérations permettent de faire en sorte que les scores X soient orthogonaux ou non liés les uns aux autres ; elles servent aussi à calculer les scores X. Les pondérations X forment une matrice p  × m.

Formule

Minitab met à l'échelle le vecteur des pondérations afin que sa longueur soit égale à 1.

Notation

TermeDescription
pnombre de termes
mnombre de composantes
iobservations de 1 à n
jtermes de 1 à p
X matrice des valeurs résiduelles X
u scores Y

Valeurs résiduelles X

Les valeurs résiduelles X contiennent la variance des prédicteurs non expliquée par le modèle PLS. Les observations avec des valeurs résiduelles X relativement importantes sont des valeurs aberrantes dans l'espace X, indiquant qu'elles ne sont pas expliquées correctement par le modèle.

Les valeurs résiduelles X sont le résultat de la différence entre les valeurs de prédicteur réelles et des valeurs calculées à partir des scores X ; leur échelle est identique à celle des prédicteurs d'origine. Semblable à la matrice X d'origine, la matrice des valeurs résiduelles X est une matrice n × p.

La matrice des valeurs résiduelles X est définie à l'origine sur la matrice X normalisée. Après avoir calculé la me composante et obtenu les vecteurs de scores X et de contributions X, Minitab calcule les valeurs résiduelles X.

Formule

Minitab calcule ensuite les valeurs résiduelles X non normalisées en multipliant les valeurs résiduelles X normalisées par l'écart type des valeurs de prédicteurs.

Notation

TermeDescription
nnombre d'observations
pnombre de termes
iobservations de 1 à n
jtermes de 1 à p
t scores X
l contributions X

Valeurs calculées X

Les valeurs calculées Y sont des combinaisons linéaires de scores X qui contiennent la variance des prédicteurs expliquée par le modèle PLS. Les observations avec des valeurs calculées X relativement faibles sont des valeurs aberrantes dans l'espace X et ne sont pas expliquées correctement par le modèle.

Semblable à la matrice X d'origine, la matrice des valeurs calculées X est une matrice n x p, dans laquelle n est le nombre d'observations et p le nombre de prédicteurs. Les valeurs calculées X se trouvent sur la même échelle que les prédicteurs.

La matrice des valeurs calculées X est initialisée sur la matrice zéro. Après avoir calculé la me composante et obtenu les vecteurs de scores X et de contributions X, Minitab calcule les valeurs calculées X. Si le nombre de composantes est égal à celui des prédicteurs, la valeur calculée X est égale à la valeur X d'origine.

Formule

Minitab calcule ensuite les valeurs calculées X non normalisées en multipliant les valeurs calculées X normalisées par l'écart type des valeurs de prédicteurs et en ajoutant la moyenne.

Notation

TermeDescription
nnombre d'observations
pnombre de prédicteurs
inombre d'observations de 1 à n
jnombre de prédicteurs de 1 à p
t scores X
l contributions X

Scores Y

Les scores Y sont des combinaisons linéaires des variables de réponse. Ils forment une matrice n × m. Fournissant une fenêtre sur l'espace Y, les scores Y sont des projections des observations des composantes PLS.

Formule

Notation

TermeDescription
nnombre d'observations
mnombre de composantes
knombre de réponses de 1 à r
Y matrice Y
c contributions Y

Contributions Y

Les contributions Y sont des coefficients linéaires liant les réponses aux scores Y. Les valeurs de contribution indiquent l'importance de la réponse correspondante pour la me composante. Les contributions Y forment une matrice r × m.

Formule

Notation

TermeDescription
rnombre de réponses
mnombre de composantes
iobservations de 1 à n
kréponses de 1 à r
Y réponses
t scores X

Valeurs résiduelles Y

Les valeurs résiduelles Y sont des valeurs contenant la variance restante des réponses que n'explique pas le modèle PLS. Les observations avec des valeurs résiduelles Y relativement importantes sont des valeurs aberrantes dans l'espace Y ; elles ne sont donc pas expliquées correctement.

Les valeurs résiduelles Y sont le résultat de la différence des valeurs de réponse réelles et des valeurs calculées Y ; leur échelle est identique à celle des réponses d'origine. Semblable à la matrice Y d'origine, la matrice des valeurs résiduelles Y est une matrice n x r.

La matrice des valeurs résiduelles Y est définie à l'origine sur la matrice Y normalisée. Après avoir calculé la me composante et obtenu les vecteurs de scores X et de contributions Y, Minitab détermine les valeurs résiduelles Y normalisées.

Formule

Minitab calcule ensuite les valeurs résiduelles Y non normalisées en multipliant les valeurs résiduelles Y normalisées par l'écart type des valeurs de réponse correspondantes.

Notation

TermeDescription
nnombre d'observations
rnombre de réponses
i observations de 1 à n
k réponses de 1 à r
t scores X
c contributions Y

Valeurs calculées Y

Les valeurs calculées Y sont des combinaisons linéaires de scores X qui contiennent la variance des réponses expliquée par le modèle PLS. Les observations avec des valeurs calculées Y relativement faibles sont des valeurs aberrantes dans l'espace Y, et ne sont pas expliquées correctement.

Comme la matrice Y d'origine, la matrice des valeurs calculées Y est une matrice n x r. Elle est définie à l'origine sur la matrice zéro. Après avoir calculé la me composante et obtenu les vecteurs de scores X et de contributions Y, Minitab détermine les valeurs calculées Y normalisées.

Formule

Minitab calcule ensuite les valeurs calculées Y non normalisées en multipliant les valeurs calculées Y normalisées par l'écart type de la réponse correspondante et en ajoutant la moyenne.

Notation

TermeDescription
nnombre d'observations
rnombre de réponses
i observations de 1 à n
k réponses de 1 à r
t scores X
c contributions Y
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