Méthodes et formules pour la fonction Régression orthogonale

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Equation de régression

Le modèle d'erreur de mesure est le suivant :

Dans la régression orthogonale, la meilleure droite d'ajustement est celle qui minimise les distances orthogonales pondérées entre les points relevés et la droite. Si le rapport de variances d'erreur a pour valeur 1, les distances pondérées sont des distances euclidiennes.

Notation

TermeDescription
Ytréponse observée
β0ordonnée à l'origine
β1pente
Xtprédicteur observé
xtvaleur réelle et non observée de prédicteur
et, uterreurs de mesure ; et, ut sont indépendants avec une moyenne de 0 et des variances d'erreur de δe2 et δu2

Matrice de covariance d'échantillon

Soit la moyenne d'échantillon (, ) et soit la matrice de covariance d'échantillon :
mZZ est une matrice 2X2 symétrique :

Notation

TermeDescription
Zt(Yt, Xt)
n effectif d'échantillon

Variances d'erreur

La matrice de covariance d'échantillon est une matrice 2 x 2 :

Si l'élément mXY de la matrice de covariance d'échantillon n'est pas égal à 0 :

Si mXY = 0 et mYY < δmXX,

Si mXY = 0 et mYY > δmXX, les estimations des paramètres restants ne sont pas définies.

Notation

TermeDescription
estimation de la variance de l'erreur pour X
estimation de la variance de l'erreur pour Y
δrapport des variances d'erreur
mXYélément de la matrice de covariance d'échantillon
mYYélément de la matrice de covariance d'échantillon
mXXélément de la matrice de covariance d'échantillon

Coefficients

Si l'élément mXY de la matrice de covariance d'échantillon n'est pas égal à 0 :

Si mxy = 0 et myy < δm xx','

Si mxy = 0 et myy > δmxx, les estimations des paramètres restants ne sont pas définies.

Notation

TermeDescription
estimation de la pente
estimation de l'ordonnée à l'origine
mxyélément de la matrice de covariance d'échantillon
myyélément de la matrice de covariance d'échantillon
δrapport des variances d'erreur
moyenne des valeurs de réponses
moyenne des valeurs des prédicteurs

Matrice de covariance de la loi approximative

Estimation de la matrice de covariance de la loi approximative pour l'ordonnée à l'origine et la pente :

où :

et

Si mXY n'est pas égal à 0 :

Si mXY est égal à 0 et mYY < δmXX :

Notation

TermeDescription
estimation de la pente
estimation de l'ordonnée à l'origine
mXYélément de la matrice de covariance d'échantillon
mYYélément de la matrice de covariance d'échantillon
mXXélément de la matrice de covariance d'échantillon
δrapport des variances d'erreur
moyenne des valeurs de réponses
moyenne des valeurs des prédicteurs

Intervalle de confiance pour l'ordonnée à l'origine

L'intervalle de confiance 100(1 - α) % pour β0 est le suivant :
où :

Z (1 - α / 2) est le 100 * (1 - α / 2) percentile pour la loi de distribution normale standard

et

, qui est un élément de la matrice de covariance de la loi approximative

Notation

TermeDescription
estimation de la pente
estimation de l'ordonnée à l'origine
αqseuil de signification

Intervalle de confiance pour la pente

L'intervalle de confiance 100(1 - α) % pour β1 est le suivant :

où :

Z(1 - α / 2) est le 100 * (1 - α / 2) percentile pour la loi de distribution normale standard

et

Notation

TermeDescription
estimation de la pente
estimation de l'ordonnée à l'origine
αseuil de signification

Valeurs ajustées pour x

La valeur ajustée pour le prédicteur x dans la régression orthogonale est la suivante :

Notation

TermeDescription
δRapport des variances d'erreur
Ytte valeur de réponse
estimation de l'ordonnée à l'origine
estimation de la pente

Valeurs ajustées pour y

La valeur ajustée pour la réponse y dans la régression orthogonale est la suivante :

Notation

TermeDescription
estimation de l'ordonnée à l'origine
estimation de la pente
te valeur ajustée pour x

Valeurs résiduelles

La valeur résiduelle d'une observation dans la régression orthogonale est :

Notation

TermeDescription
Ytte valeur de réponse
ordonnée à l'origine
Xtte valeur de prédicteur
pente

Valeurs résiduelles normalisées

La valeur résiduelle normalisée est utile pour l'identification des valeurs aberrantes. Elle est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
valeurs résiduelles
écart type de la valeur résiduelle
δrapport des variances des erreurs
estimation de la pente
estimation de la variance de l'erreur pour X

Prédicteur de Y

Le prédicteur de Yn + 1 est le suivant :

où :

et

Notation

TermeDescription
Xtte valeur de prédicteur
moyenne des valeurs des prédicteurs
Ytte valeur de réponse
moyenne des valeurs de réponses

Ecart type pour l'erreur de prévision

où :

Notation

TermeDescription
myyvariance de l'échantillon pour Y
mxycovariance d'échantillon entre les variables aléatoires X et Y
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