Méthodes et formules pour les estimations des paramètres dans Régression non linéaire

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Contraintes de paramètres

Appliquez les contraintes de paramètres en transformant les paramètres1.
Si Alors
a < θ θ = a + exp( φ )
θ < b θ = b - exp( φ )
a < θ < b θ = a +((b - a) / (1 + exp( -φ )))
TermeDescription
a et bconstantes numériques
θparamètres
φparamètres transformés

Minitab réalise ces transformations et affiche les résultats dans les termes des paramètres d'origine.

  1. Bates et Watts (1988). Nonlinear Regression Analysis and Its Applications. John Wiley & Sons, Inc.

Erreur type de l'estimation du paramètre

L'erreur standard approximative de l'estimation de θp est S, multiplié par la racine carrée de l'élément diagonal p de , qui s'écrit comme suit :
ep est un P par 1 vecteur avec l'élément p égal à 1 et tous les autres éléments égaux à 0. Minitab procède au calcul suivant :
par tâtonnement :

Notation

TermeDescription
nne observation
Nnombre total d'observations
pnombre de paramètres libres (non verrouillés)
Rmatrice R (triangulaire supérieure) dans la décomposition QR de Vi pour l'itération finale
V0matrice de gradient = (∂f(xn, θ) / ∂θp), P par 1 vecteur des dérivées partielles de f(x0, θ), évaluée à θ*
S

Matrice de corrélation pour les estimations des paramètres

La matrice de variance/covariance approximative pour les estimations des paramètres est la suivante :
La corrélation approximative entre les estimations de θp et θq est la suivante :
R étant triangulaire, Minitab peut obtenir sa valeur inverse par tâtonnement au lieu d'utiliser un algorithme d'inversion général.

Notation

TermeDescription
Rmatrice R (triangulaire supérieure) dans la décomposition QR de Vi pour l'itération finale
Pnombre de paramètres libres (non verrouillés)
v0matrice de gradient = (∂f(xn, θ) / ∂θp), P par 1 vecteur des dérivées partielles de f(x0, θ), évaluée à θ*
θparamètres

Intervalles de confiance de vraisemblance du profil pour les paramètres

Soit θ = (θ1, . . . . θp) * avec θ* comme itération finale pour θ.

Les limites de confiance (100 1 - α) % fondées sur la vraisemblance satisfont les conditions suivantes :

où S(θp) est la SCE obtenue en maintenant θp fixe et en minimisant les autres paramètres1. Cela équivaut à résoudre l'équation suivante :

S(θp) = S(θ*) + (tα/2)2 CME

Notation

TermeDescription
θparamètres
nne observation
Nnombre total d'observations
Pnombre de paramètres libres (non verrouillés)
tα/2point supérieur α/2 de la loi de distribution t avec N – P degrés de liberté
S(θ)Somme du carré de l'erreur
CA MOY ERRcarré moyen de l'erreur
  1. Bates et Watts (1988). Nonlinear Regression Analysis and Its Applications. John Wiley & Sons, Inc.
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