Qu'est-ce que l'orthogonalité ?

Deux vecteurs sont orthogonaux si la somme des produits de leurs éléments correspondants est égale à 0. Prenons l'exemple des vecteurs a et b suivants :

Vous pouvez multiplier les éléments correspondants des vecteurs pour afficher le résultat suivant :

a*b = 2(–4) + 3(1) + 5(1) + 0(4) = –8 + 3 + 5 + 0 = 0

Cela montre que les deux vecteurs sont orthogonaux.

Le concept d'orthogonalité est important dans les plans d'expériences car il est lié à la notion d'indépendance. L'analyse expérimentale d'un plan orthogonal coule généralement de source car vous pouvez estimer chaque effet principal et chaque interaction indépendamment les un(e)s des autres. Si votre plan n'est pas orthogonal, en raison du plan même ou d'une perte accidentelle de données, votre interprétation peut ne pas être aussi évidente.

L'exemple suivant en illustre bien l'importance. Prenons un plan factoriel complet 23 à 8 essais.
A B C
1 –1 –1
1 –1 1
–1 –1 1
–1 1 –1
–1 1 1
–1 –1 –1
1 1 1
1 1 –1
Pour montrer que chaque colonne (vecteur) est orthogonale par rapport aux autres colonnes, multipliez A*B, A*C et B*C.
  • A*B = 1(–1) +1(–1) – 1(–1) – 1(1) – 1(1) – 1(–1) + 1(1) + 1(1) = –4 + 4 = 0
  • A*C = 1(–1) +1(1) – 1(1) – 1(–1) – 1(1) – 1(–1) + 1(1) + 1(–1) = –4 + 4 = 0
  • B*C = –1(–1) – 1(1) – 1(1) + 1(–1) + 1(1) – 1(–1) + 1(1) + 1(–1) = –4 + 4 = 0

Ainsi, dans un sens, le facteur A est estimé indépendamment de B et C, et inversement.

Les estimations des effets et des coefficients resteront inchangées lorsque vous supprimerez les interactions du modèle. Les autres résultats évolueront lorsque l'erreur expérimentale (carré moyen de l'erreur) sera ajustée en conséquence avec davantage de degrés de liberté.

En conclusion, un plan d'expériences est orthogonal si les effets de chaque facteur sont répartis (somme égale à zéro) sur les effets des autres facteurs. L'orthogonalité garantit que l'effet d'un facteur ou d'une interaction peut être estimé séparément de l'effet d'un autre facteur ou d'une autre interaction du modèle.

Déterminer si un plan est orthogonal

Pour déterminer si votre plan est orthogonal, procédez comme suit :
Remarque

Lorsque vous analysez des plans factoriels, si le plan apparaît en unités non codées dans la feuille de travail, commencez par sélectionner Stat > DOE (plan d'expériences) > Afficher le plan, sélectionnez Unités codées, puis cliquez sur OK.

  1. Sélectionnez Stat > ANOVA > Modèle linéaire général ou Stat > DOE (plan d'expériences) > Plan factoriel > Analyser un plan factoriel, puis configurez la boîte de dialogue de façon habituelle.
    Remarque

    Vous pouvez également procéder ainsi pour les plans de surface de réponse, de Taguchi et de mélange. Pour stocker une matrice du plan dans un plan de Taguchi, vous devez ajuster un modèle linéaire.

  2. Cliquez sur Stockage.
  3. Sélectionnez Matrice du plan. Cliquez sur OK dans chaque boîte de dialogue.
  4. Faites la somme des degrés de liberté pour tous les termes du modèle, sauf Erreur. Les degrés de liberté se trouvent dans la colonne DL du tableau ANOVA dans les résultats de la fenêtre Session.
  5. Sélectionnez Données > Copier > Matrice dans colonnes.
  6. Dans la zone Copier à partir de la matrice, saisissez MatX1.
  7. Sous Stocker les données copiées, dans Dans la feuille de travail en cours, dans les colonnes :, saisissez une plage de colonnes vides assez grande pour inclure une colonne pour chaque degré de liberté du modèle plus une pour l'ordonnée à l'origine. (Par exemple, si vous possédez 7 degrés de liberté dans votre modèle, vous aurez besoin de 8 colonnes au total et saisirez C11-C18.) Cliquez sur OK.
  8. Sélectionnez Stat > Statistiques élémentaires > Corrélation.
  9. Dans le champ Variables, entrez la plage de colonnes de l'étape 7.
  10. Décochez Afficher les valeurs de p. Cliquez sur OK.
  11. Dans la matrice qui s'affiche dans la fenêtre Session, recherchez tout terme différent de zéro. Une valeur positive ou négative indique que les deux colonnes et leurs termes associés ne sont pas orthogonaux.
    Remarque

    Lorsque vous analysez un plan factoriel, la matrice du plan stocke les termes en unités non codées si la feuille de travail est en unités non codées. Stat > DOE (plan d'expériences) > Plan factoriel > Analyser un plan factoriel effectue l'analyse en unités codées. Lorsque vous analysez un plan de surface de réponse, la matrice du plan stocke les termes en unités codées ou non codées selon les unités dans lesquelles vous choisissez d'analyser les données.

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