Méthodes et formules pour les composantes de la variance dans la fonction Ajuster le modèle à effets mixtes

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Composantes de la variance

Les composantes de la variance nécessitent une solution itérative pour estimer le paramètre θi. Une fois que vous disposez de la valeur du paramètre, les composantes de la variance ont des solutions explicites. La formule pour déterminer la composante de variance pour l'erreur est la suivante :

Les composantes de la variance pour les termes d'effet aléatoire sont comme suit :

Pour plus de détails sur l'estimation de θi, voir [1].

Pour plus de détails sur la notation, reportez-vous à la rubrique sur les méthodes.

Références

  1. Hemmerle, W. et Hartley, H. (1973), Computing Maximum Likelihood Estimates for the Mixed A.O.V. Model using the W transformation, Technometrics, 15(4):819–831.

Erreurs types des composantes de la variance

Pour estimer les erreurs types des composantes de la variance, Minitab part de la matrice des informations de Fischer observées. La matrice comporte c + 1 lignes et colonnes. La variable c représente le nombre de termes d'effet aléatoire dans le modèle et le nombre 1 représente la variance pour le terme d'erreur. Pour i = 1, …, c et j = 1, …, c, la formule suivante permet de déterminer la l'ije composante de la matrice des informations de Fisher observées :
La formule suivante correspond à la composante de la dernière ligne et de la colonne, j = 1, …, c :

Cette composante est également la valeur de la dernière colonne et de la ligne par la propriété de symétrie de la matrice de variance/covariance.

La formule suivante correspond à la composante de la dernière ligne et de la dernière colonne :

La matrice de variance/covariance asymptotique pour les estimations des composantes de variance est égale à deux fois l'inverse de la matrice des informations de Fisher observées. Les estimations des erreurs types sont les racines carrées des éléments se trouvant sur la diagonale de la matrice de variance/covariance. Les c premiers éléments de la diagonale correspondent aux composantes de variance des termes d'effet aléatoire. Le dernier élément de la diagonale correspond à la composante de variance de l'erreur.

Notation

TermeDescription
trace de la matrice
somme des carrés de tous les éléments de la matrice M

Pour plus de détails sur la notation, reportez-vous à la rubrique sur les méthodes.

Intervalles de confiance pour les composantes de la variance

Minitab utilise la méthode delta pour définir les limites de confiance de type Wald pour le logarithme népérien des composantes de la variance, puis réalise une exponentiation des intervalles de confiance pour obtenir les intervalles de confiance des composantes de la variance. Les formules permettant de déterminer la composante de variance pour l'erreur sont identiques.

Intervalle bilatéral

Borne inférieure

Borne supérieure

Notation

TermeDescription
-ième quantile de la loi normale standard
1 - niveau de confiance
erreur type de l' composante de variance
composante de variance pour l' terme d'effet aléatoire

Valeur de Z et valeur de p

Les hypothèses nulle et alternative du test sont les suivantes :
Les hypothèses de la variance d'erreur sont identiques.
La statistique de test suppose une loi normale standard :
La valeur de p est la probabilité au niveau de l'extrémité (queue) supérieure de la loi normale standard sous l'hypothèse nulle, comme indiqué ci-dessous :

Notation

TermeDescription
Zvaleur de la fonction de répartition inverse pour la loi normale standard

Matrice de variance/covariance

La matrice de variance/covariance asymptotique est l'inverse de la matrice des informations de Fisher observées. La matrice comporte c + 1 lignes et colonnes. La variable c représente le nombre de termes d'effet aléatoire dans le modèle et le nombre 1 représente la variance pour le terme d'erreur. Pour i = 1, …, c et j = 1, …, c, la formule suivante permet de déterminer l' composante de la matrice des informations de Fisher :
La formule suivante correspond à la composante de la dernière ligne et de la colonne, j = 1, …, c:

Cette composante est également la valeur de la dernière colonne et de la ligne par la propriété de symétrie de la matrice de variance/covariance.

La formule suivante correspond à la composante de la dernière ligne et de la dernière colonne :

Notation

TermeDescription
trace de la matrice

Pour plus de détails sur la notation, reportez-vous à la rubrique sur les méthodes.

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