Méthodes pour la fonction Ajuster le modèle à effets mixtes

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Modèle à effets mixtes et log de vraisemblance

Forme générale du modèle à effets mixtes

Les modèles à effets mixtes contiennent des effets fixes et aléatoires. La forme générale du modèle à effets mixtes est la suivante :

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

Notation

TermeDescription
yvecteur n x 1 des valeurs de réponse
Xmatrice de plan n x p pour les termes d'effet fixe, pn
βvecteur p x 1 de paramètres inconnus
matrice de plan n x mi pour l' terme aléatoire dans le modèle
μivecteur mi x 1 de variables indépendantes issues d'une loi N(0, )
εvecteur n x 1 de variables indépendantes issues d'une loi N(0, )
nnombre d'observations
pnombre de paramètres dans
cnombre de termes aléatoires dans le modèle

Matrice de variance/covariance

D'après l'hypothèse pour la forme générale du modèle à effets mixtes, le vecteur de réponse, y, suit une loi normale multivariée ayant pour vecteur moyen et la matrice de variance/covariance suivante :

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c sont appelés des composantes de la variance.

En factorisant la variance, vous pouvez trouver une représentation de H(θ), qui se trouve dans le calcul du log de vraisemblance des modèles à effets mixtes.

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

Notation

TermeDescription
θirapport de la variance de l' terme aléatoire par rapport à la variance d'erreur

Log de vraisemblance

Lorsque le modèle contient un facteur aléatoire, les estimations du paramètre inconnu par défaut sont obtenues par minimisation du négatif du logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. Cette minimisation revient à maximiser le logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. Minitab utilise un algorithme itératif afin de minimiser le logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. La fonction à minimiser est la suivante :

Notation

TermeDescription
HIn + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|déterminant de H
H-1inverse de H
 minombre de niveaux pour l' terme aléatoire
composante de variance pour l'erreur
Inmatrice d'identité avec n lignes et colonnes

Estimation par le maximum de vraisemblance restreinte (REML)

Par défaut, Minitab calcule les estimations de paramètres qui maximisent la fonction de vraisemblance restreinte, ce qui revient à minimiser la fonction suivante :
Pour minimiser la fonction, Minitab dérive la fonction par rapport à β, σ2 et θi, et définit les dérivées sur 0, comme indiqué ci-dessous :

Sous forme algébrique, les deux premières équations à résoudre pour les paramètres estimés par rapport à la dérivation sont les suivantes :
La dérivée par rapport à ne peut pas être résolue de manière explicite pour . Minitab utilise la méthode de Newton pour estimer en suivant la procédure ci-dessous :
  1. Utilisez les estimations MINQUE12 des composantes de la variance afin de définir les valeurs initiales de σ2 et de θi.
  2. Estimez β et σ2 avec les équations pour et .
  3. Recherchez la valeur de θi à l'aide de la méthode de Newton afin de minimiser L(β, σ2, θ).
  4. Reproduisez les étapes 2 et 3 jusqu'à convergence.
Les solutions convergentes pour correspondent aux estimations du rapport des variances. La composante de variance pour l' terme aléatoire est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
tr(·)trace de la matrice
X'transposition de X
1 Rao, C.R. (1971 a), Estimation of variance covariance components - MINQUE theory, Journal of Multivariate Analysis 1, 257–275.
2 Rao, C.R. (1971 b), Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components, Journal of Multivariate Analysis 1, 445–456
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