Méthodes et formules pour les facteurs aléatoires et les modèles mixtes pour la fonction Ajuster le modèle linéaire général

Sélectionnez la méthode ou la formule de votre choix.

Composantes de la variance

Minitab calcule les composantes de variance uniquement pour les facteurs aléatoires. Nous avons utilisé un modèle avec deux facteurs aléatoires pour présenter les formules.

αi, βj , (αβ)ij et εijk sont des variables aléatoires indépendantes. Ces variables sont distribuées normalement, avec une moyenne de zéro et des variances fournies par les formules suivantes :

Ces variances sont les composantes de la variance. Dans ce cas, testez l'hypothèse selon laquelle les composantes de la variance sont égales à zéro.

La formule suivante décrit un modèle mixte non restreint avec un facteur fixe A et un facteur aléatoire B :

αi représente des effets fixes et βj, (αβ)ij et εijk sont des variables aléatoires non corrélées qui ont des moyennes de zéro et dont les variances sont déterminées comme suit :

Ces variances sont les composantes de la variance. La valeur Σα i = 0.

Ces informations sont propres aux modèles équilibrés. Pour obtenir des informations sur les modèles non équilibrés ou plus complexes, reportez-vous à Montgomery1 et Neter2.

  1. D.C. Montgomery (1991), Design and Analysis of Experiments, troisième édition, John Wiley & Sons.
  2. J. Neter, W. Wasserman et M.H. Kutner (1985), Applied Linear Statistical Models, deuxième édition, Irwin, Inc.

Espérance mathématique des carrés moyens

Les formules permettant de calculer l'espérance des carrés moyens pour un modèle à effets aléatoires avec deux facteurs A et B sont les suivantes :

Les formules permettant de calculer l'espérance des carrés moyens pour un modèle mixte non restreint avec un facteur fixe A et un facteur aléatoire B sont les suivantes :

Pour connaître les règles générales pour le calcul de l'espérance mathématique des carrés moyens et obtenir des informations sur des modèles non équilibrés ou plus complexes, reportez-vous à Montgomery1 et Neter2.

  1. D.C. Montgomery (1991), Design and Analysis of Experiments, troisième édition, John Wiley & Sons.
  2. J. Neter, W. Wasserman et M.H. Kutner (1985), Applied Linear Statistical Models, deuxième édition, Irwin, Inc.

Notation

TermeDescription
bNombre de niveaux dans le facteur B
aNombre de niveaux dans le facteur A
nnombre d'observations
σ2variance estimée du modèle
variance estimée de A
variance estimée de B
variance estimée de AB
effets fixes de A

Statistique F pour les modèles avec facteurs aléatoires

Méthode de calcul des statistiques F dans les résultats de l'ANOVA

Chaque statistique F est un rapport de carrés moyens. Le numérateur est le carré moyen associé au terme. Le dénominateur est également un carré moyen, choisi de façon à ce que la différence entre le numérateur et le dénominateur corresponde à l'effet qui vous intéresse. L'effet d'un terme aléatoire est représenté par la composante de variance de ce terme. L'effet d'un terme fixe est représenté par la somme des carrés des composantes du modèle associées à ce terme, divisée par ses degrés de liberté. Par conséquent, une statistique F élevée indique que l'effet est significatif.

Lorsque tous les termes du modèle sont fixes, le dénominateur de chaque statistique  F est le carré moyen de l'erreur. En revanche, pour les modèles comprenant des termes aléatoires, le carré moyen de l'erreur n'est pas toujours le dénominateur approprié. Vous pouvez utiliser l'espérance mathématique des carrés moyens pour déterminer la valeur appropriée pour le dénominateur.

Exemple

Supposons que vous effectuiez une ANOVA avec le facteur fixe Filtre et le facteur aléatoire Tech, et que vous obteniez le résultat suivant pour l'espérance mathématique des carrés moyens :

Source Espérance mathématique des carrés moyens pour chaque terme
(1) Filtre (4) + 2,0000(3) + Q[1]
(2) Tech (4) + 2,0000(3) + 4,0000(2)
(3) Filtre*Tech (4) + 2,0000(3)
(4) Erreur (4)

Les nombres entre parenthèses désignent l'effet aléatoire du terme qui leur est associé dans la colonne Source. (2) représente l'effet aléatoire de Tech, (3) représente l'effet aléatoire de l'interaction Filtre*Tech et (4) représente l'effet aléatoire de l'erreur. L'espérance mathématique des carrés moyens pour Erreur est l'effet du terme d'erreur. En outre, l'espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre*Tech est l'effet du terme d'erreur plus deux fois l'effet de l'interaction Filtre*Tech.

Pour calculer la statistique F pour Filtre*Tech, le carré moyen de Filtre*Tech est divisé par celui de l'erreur ; ainsi la valeur attendue du numérateur (espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre*Tech = (4) + 2,0000(3)) ne diffère de la valeur attendue du dénominateur (espérance mathématique des carrés moyens pour Erreur = (4)) que par l'effet de l'interaction (2,0000(3)). Par conséquent, une statistique F élevée indique que l'interaction Filtre*Tech est significative.

Les nombres avec Q[ ] désignent l'effet fixe du terme qui leur est associé dans la colonne Source. Par exemple, Q[1] représente l'effet fixe de Filtre. L'espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre correspond à l'effet du terme d'erreur plus deux fois l'effet de l'interaction Filtre*Tech, plus l'effet de Filtre multiplié par une valeur constante. Q[1] est égal à (b*n*somme((coefficients des niveaux de Filtre)**2)) divisé par (a - 1), où a et b représentent respectivement le nombre de niveaux de Filtre et Tech, et n représente le nombre de répétitions.

Pour calculer la statistique F pour Filtre, le carré moyen de Filtre est divisé par celui de Filtre*Tech ; ainsi la valeur attendue du numérateur (espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre = (4) + 2,0000(3) + Q[1]) ne diffère de la valeur attendue du dénominateur (espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre*Tech = (4) + 2,0000(3)) que par l'effet de Filtre (Q[1]). Par conséquent, une statistique F élevée indique que l'effet de Filtre est significatif.

Pourquoi le résultat de mon analyse ANOVA comporte-t-elle un "x" à côté d'une valeur de p dans le tableau ANOVA, ainsi que la mention "n'est pas un test F exact" ?

Pour un terme donné, le test F est dit exact lorsque la différence entre le numérateur (carré moyen attendu pour le terme) et le dénominateur est uniquement constituée par la composante de variance ou le facteur fixe qui vous intéresse.

Toutefois, il peut arriver que le carré moyen à utiliser comme dénominateur ne puisse pas être calculé. Dans ce cas, Minitab utilise un carré moyen permettant d'obtenir un test F approximatif et affiche un "x" à côté de la valeur de p pour indiquer que le test F n'est pas exact.

Par exemple, supposons que vous effectuiez une ANOVA avec le facteur fixe Complément et le facteur aléatoire Laque, et que vous obteniez le résultat suivant pour l'espérance mathématique des carrés moyens :
Source Espérance mathématique des carrés moyens pour chaque terme
(1) Complément (4) + 1,7500(3) + Q[1]
(2) Laque (4) + 1,7143(3) + 5,1429(2)
(3) Complément*Laque (4) + 1,7500(3)
(4) Erreur (4)

La statistique F pour Complément est le carré moyen de celui-ci divisé par le carré moyen de l'interaction Complément*Laque. Si l'effet pour Complément est très faible, la valeur attendue du numérateur est égale à la valeur attendue du dénominateur. Ceci est un exemple d'un test F exact.

Remarquez en revanche que pour un effet Laque très faible, il n'y a aucun carré moyen qui fasse que la valeur attendue du numérateur soit égale à la valeur attendue du dénominateur. Par conséquent, Minitab utilise un test F approximatif. Dans cet exemple, le carré moyen de Laque est divisé par celui de l'interaction Complément*Laque. Cette opération donne une valeur attendue du numérateur approximativement égale à celle du dénominateur si l'effet Laque est très faible.

A propos du message "Le dénominateur du test F est nul ou non défini"

Dans Minitab, une erreur indiquant que le dénominateur du test F est nul ou non défini peut apparaître pour les raisons suivantes :
  • L'erreur ne dispose d'aucun degré de liberté.
  • Les valeurs du CM ajusté sont très faibles, d'où un manque de précision empêchant d'afficher les valeurs F et de p. Pour contourner ce problème, vous pouvez multiplier la colonne de réponse par 10. Ensuite, appliquez le même modèle de régression, mais utilisez cette nouvelle colonne pour la réponse.

    Remarque

    Le fait de multiplier les valeurs de réponse par 10 n'aura pas d'incidence sur les valeurs de F et de p affichées dans les résultats par Minitab. En revanche, la position des décimales dans le reste des résultats sera modifiée, en particulier dans les colonnes SomCar ajust, CM ajust et Ajus, ainsi que dans celles des sommes des carrés séquentielles, de l'erreur type des valeurs ajustées et des valeurs résiduelles.

Méthode de calcul des statistiques F dans les résultats de l'ANOVA

Chaque statistique F est un rapport de carrés moyens. Le numérateur est le carré moyen associé au terme. Le dénominateur est également un carré moyen, choisi de façon à ce que la différence entre le numérateur et le dénominateur corresponde à l'effet qui vous intéresse. L'effet d'un terme aléatoire est représenté par la composante de variance de ce terme. L'effet d'un terme fixe est représenté par la somme des carrés des composantes du modèle associées à ce terme, divisée par ses degrés de liberté. Par conséquent, une statistique F élevée indique que l'effet est significatif.

Lorsque tous les termes du modèle sont fixes, le dénominateur de chaque statistique  F est le carré moyen de l'erreur. En revanche, pour les modèles comprenant des termes aléatoires, le carré moyen de l'erreur n'est pas toujours le dénominateur approprié. Vous pouvez utiliser l'espérance mathématique des carrés moyens pour déterminer la valeur appropriée pour le dénominateur.

Exemple

Supposons que vous effectuiez une ANOVA avec le facteur fixe Filtre et le facteur aléatoire Tech, et que vous obteniez le résultat suivant pour l'espérance mathématique des carrés moyens :

Source Espérance mathématique des carrés moyens pour chaque terme
(1) Filtre (4) + 2,0000(3) + Q[1]
(2) Tech (4) + 2,0000(3) + 4,0000(2)
(3) Filtre*Tech (4) + 2,0000(3)
(4) Erreur (4)

Les nombres entre parenthèses désignent l'effet aléatoire du terme qui leur est associé dans la colonne Source. (2) représente l'effet aléatoire de Tech, (3) représente l'effet aléatoire de l'interaction Filtre*Tech et (4) représente l'effet aléatoire de l'erreur. L'espérance mathématique des carrés moyens pour Erreur est l'effet du terme d'erreur. En outre, l'espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre*Tech est l'effet du terme d'erreur plus deux fois l'effet de l'interaction Filtre*Tech.

Pour calculer la statistique F pour Filtre*Tech, le carré moyen de Filtre*Tech est divisé par celui de l'erreur ; ainsi la valeur attendue du numérateur (espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre*Tech = (4) + 2,0000(3)) ne diffère de la valeur attendue du dénominateur (espérance mathématique des carrés moyens pour Erreur = (4)) que par l'effet de l'interaction (2,0000(3)). Par conséquent, une statistique F élevée indique que l'interaction Filtre*Tech est significative.

Les nombres avec Q[ ] désignent l'effet fixe du terme qui leur est associé dans la colonne Source. Par exemple, Q[1] représente l'effet fixe de Filtre. L'espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre correspond à l'effet du terme d'erreur plus deux fois l'effet de l'interaction Filtre*Tech, plus l'effet de Filtre multiplié par une valeur constante. Q[1] est égal à (b*n*somme((coefficients des niveaux de Filtre)**2)) divisé par (a - 1), où a et b représentent respectivement le nombre de niveaux de Filtre et Tech, et n représente le nombre de répétitions.

Pour calculer la statistique F pour Filtre, le carré moyen de Filtre est divisé par celui de Filtre*Tech ; ainsi la valeur attendue du numérateur (espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre = (4) + 2,0000(3) + Q[1]) ne diffère de la valeur attendue du dénominateur (espérance mathématique des carrés moyens pour Filtre*Tech = (4) + 2,0000(3)) que par l'effet de Filtre (Q[1]). Par conséquent, une statistique F élevée indique que l'effet de Filtre est significatif.

Pourquoi le résultat de mon analyse ANOVA comporte-t-elle un "x" à côté d'une valeur de p dans le tableau ANOVA, ainsi que la mention "n'est pas un test F exact" ?

Pour un terme donné, le test F est dit exact lorsque la différence entre le numérateur (carré moyen attendu pour le terme) et le dénominateur est uniquement constituée par la composante de variance ou le facteur fixe qui vous intéresse.

Toutefois, il peut arriver que le carré moyen à utiliser comme dénominateur ne puisse pas être calculé. Dans ce cas, Minitab utilise un carré moyen permettant d'obtenir un test F approximatif et affiche un "x" à côté de la valeur de p pour indiquer que le test F n'est pas exact.

Par exemple, supposons que vous effectuiez une ANOVA avec le facteur fixe Complément et le facteur aléatoire Laque, et que vous obteniez le résultat suivant pour l'espérance mathématique des carrés moyens :
Source Espérance mathématique des carrés moyens pour chaque terme
(1) Complément (4) + 1,7500(3) + Q[1]
(2) Laque (4) + 1,7143(3) + 5,1429(2)
(3) Complément*Laque (4) + 1,7500(3)
(4) Erreur (4)

La statistique F pour Complément est le carré moyen de celui-ci divisé par le carré moyen de l'interaction Complément*Laque. Si l'effet pour Complément est très faible, la valeur attendue du numérateur est égale à la valeur attendue du dénominateur. Ceci est un exemple d'un test F exact.

Remarquez en revanche que pour un effet Laque très faible, il n'y a aucun carré moyen qui fasse que la valeur attendue du numérateur soit égale à la valeur attendue du dénominateur. Par conséquent, Minitab utilise un test F approximatif. Dans cet exemple, le carré moyen de Laque est divisé par celui de l'interaction Complément*Laque. Cette opération donne une valeur attendue du numérateur approximativement égale à celle du dénominateur si l'effet Laque est très faible.

A propos du message "Le dénominateur du test F est nul ou non défini"

Dans Minitab, une erreur indiquant que le dénominateur du test F est nul ou non défini peut apparaître pour les raisons suivantes :
  • L'erreur ne dispose d'aucun degré de liberté.
  • Les valeurs du CM ajusté sont très faibles, d'où un manque de précision empêchant d'afficher les valeurs F et de p. Pour contourner ce problème, vous pouvez multiplier la colonne de réponse par 10. Ensuite, appliquez le même modèle de régression, mais utilisez cette nouvelle colonne pour la réponse.

    Remarque

    Le fait de multiplier les valeurs de réponse par 10 n'aura pas d'incidence sur les valeurs de F et de p affichées dans les résultats par Minitab. En revanche, la position des décimales dans le reste des résultats sera modifiée, en particulier dans les colonnes SomCar ajust, CM ajust et Ajus, ainsi que dans celles des sommes des carrés séquentielles, de l'erreur type des valeurs ajustées et des valeurs résiduelles.

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