Méthodes et formules pour le modèle pour la fonction Ajuster le modèle linéaire général

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Modèle MLG

Pour la matrice, voici la formule réservée au modèle de régression linéaire général :

Notation

TermeDescription
Yvecteur de réponses
Xmatrice du plan
βvecteur de paramètres
εvecteur de variables aléatoires indépendantes suivant la loi normale

Matrice du plan

La fonction Modèle linéaire général utilise une approche par régression pour ajuster le modèle que vous spécifiez. Minitab crée d'abord une matrice du plan d'expériences à partir des facteurs, des covariables et du modèle que vous spécifiez. Les colonnes de cette matrice sont les prédicteurs pour la régression.

La matrice du plan contient n lignes, où n est le nombre d'observations, et plusieurs blocs de colonnes, correspondant aux termes du modèle. Le premier bloc correspond à la constante et ne contient qu'une colonne constituée uniquement de 1. Le bloc pour une covariable contient lui aussi seulement une colonne, la colonne de la covariable elle-même. Le bloc de colonnes correspondant à un facteur contient r colonnes, où r est le nombre de degrés de liberté pour le facteur, et elles sont codées tel qu'indiqué dans l'exemple ci-dessous.

Supposons que A soit un facteur avec 4 niveaux. Il a alors 3 degrés de liberté et son bloc contient 3 colonnes que l'on appellera A1, A2, A3.

Niveau de A A1 A2 A3
1 1 0 0
2 0 1 0
3 0 0 1
4 –1 –1 –1

Supposons que le facteur B a 3 niveaux emboîtés dans chaque niveau de A. Son bloc contient alors (3 - 1) x 4 = 8 colonnes que l'on appellera B11, B12, B21, B22, B31, B32, B41, B42, codées de la façon suivante :

Niveau de A Niveau de B B11 B12 B21 B22 B31 B32 B41 B42
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 0 0 0 0
1 3 –1 –1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 1 0 0 0 0 0
2 2 0 0 0 1 0 0 0 0
2 3 0 0 –1 –1 0 0 0 0
3 1 0 0 0 0 1 0 0 0
3 2 0 0 0 0 0 1 0 0
3 3 0 0 0 0 –1 –1 0 0
4 1 0 0 0 0 0 0 1 0
4 2 0 0 0 0 0 0 0 1
4 3 0 0 0 0 0 0 –1 –1

Pour calculer les colonnes correspondant à un terme d'interaction, il suffit de multiplier toutes les colonnes correspondantes pour les facteurs et/ou les covariables dans l'interaction. Par exemple, supposons que A comporte 6 niveaux, C 3 niveaux, D 4 niveaux et que Z et W soient des covariables. Le terme A*C*D*Z*W*W aura 5 x 2 x 3 x 1 x 1 x 1 = 30 colonnes. Pour les obtenir, multipliez chaque colonne de A par les colonnes de C, puis par les colonnes de D, puis une fois par la covariable Z et deux fois par la covariable W.

Transformation de Box-Cox

La transformation de Box-Cox sélectionne les valeurs lambda (comme indiqué ci-dessous) qui minimisent la somme des carrés des valeurs résiduelles. La transformation obtenue est Y λ lorsque λ ≠ 0, et ln(Y) lorsque λ = 0. Lorsque λ < 0, Minitab multiplie également la réponse transformée par −1 pour conserver l'ordre de la réponse non transformée.

Minitab recherche une valeur optimale entre −2 et 2. Les valeurs en dehors de cet intervalle sont susceptibles de ne pas fournir un meilleur ajustement.

Voici quelques transformations courantes dans lesquelles Y′ représente la transformation des données Y :

Valeur lambda (λ) Transformation
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0,5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0,5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

Régression pondérée

La régression par les moindres carrés pondérée est une méthode permettant de traiter les observations qui présentent des variances non constantes. Si les variances ne sont pas constantes, attribuez :

  • des pondérations relativement faibles aux observations ayant des variances importantes
  • des pondérations relativement importantes aux observations ayant des variances faibles

Les pondérations sont généralement choisies comme l'inverse de la variance de l'erreur pure dans le réponse.

La formule pour les coefficients estimés est la suivante :
Cela revient à minimiser la valeur SC Erreur pondérée.

Notation

TermeDescription
Xmatrice du plan
X'transposition de la matrice de plan
Wmatrice n x n, avec les pondérations sur la diagonale
Yvecteur des valeurs de réponse
nnombre d'observations
wipondération pour l'ie observation
yivaleur de réponse pour l'ie observation
valeur ajustée pour l'ie observation
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