Méthodes et formules pour le diagramme de loi de probabilité

Sélectionnez la méthode ou la formule de votre choix.

Fonction de répartition

La fonction de répartition (CDF) calcule la probabilité cumulée d'une valeur de x donnée. Utilisez la CDF pour déterminer la probabilité qu'une observation aléatoire extraite de la population soit inférieure ou égale à une certaine valeur. Vous pouvez également utiliser cette fonction pour déterminer la probabilité qu'une observation soit supérieure à une certaine valeur, ou comprise entre deux valeurs.
  • Pour les lois continues, la CDF permet d'obtenir l'aire située sous la fonction de densité de probabilité jusqu'à la valeur de x que vous indiquez.
  • Pour les lois discrètes, la CDF permet d'obtenir la probabilité cumulée correspondant aux valeurs x que vous indiquez.

Probabilité cumulée inverse

Pour un nombre p compris dans l'intervalle fermé [0,1], la fonction de répartition inverse (CDF inverse) d'une variable aléatoire X détermine, lorsque c'est possible, une valeur de x pour laquelle la probabilité que X ≤ x est supérieure ou égale à p.

CDF inverse pour les lois continues

La CDF inverse fournit la valeur associée à une aire située sous la fonction de densité de probabilité. Il s'agit de l'inverse de la fonction de répartiton (CDF), qui fournit quant à elle l'aire associée à une valeur.

Pour toutes les lois continues, la CDF inverse existe et est unique si 0 < p < 1.

  • Lorsque la fonction de densité de probabilité (PDF) est positive pour l'ensemble de la ligne de nombres réels (par exemple, la PDF normale), la CDF inverse n'est pas définie soit pour p = 0, soit pour p = 1.
  • Lorsque la PDF est positive pour toutes les valeurs qui sont supérieures à une valeur donnée (par exemple, la PDF du Khi deux), la CDF inverse est définie pour p = 0, mais pas pour p = 1.
  • Lorsque la PDF est uniquement positive sur un intervalle (par exemple, la PDF de la loi uniforme), la CDF inverse est définie pour p = 0 et pour p = 1.
  • Dans les cas où la CDF inverse n'est pas définie, Minitab renvoie une valeur manquante (*) pour le résultat.
CDF inverse pour les lois discrètes
La CDF inverse est plus complexe pour les lois discrètes que pour les lois continues. Lorsque vous calculez la CDF correspondant à une loi binomiale avec, par exemple, n = 5 et p = 0,4, il n'existe aucune valeur x pour laquelle la CDF est égale à 0,5. Pour x = 1, la CDF est de 0,3370. Pour x = 2, la CDF passe à 0,6826.
Si la CDF inverse est affichée dans la fenêtre Session (autrement dit, que les résultats ne sont pas stockés), ces deux valeurs de x sont indiquées. Si la CDF inverse est stockée, seule la plus grande des deux valeurs est stockée.

Fonction de densité de probabilité

La fonction de densité de probabilité (PDF) d'une variable aléatoire X permet de calculer la probabilité d'un événement de la façon suivante :
  • Pour les lois continues, la probabilité que des valeurs de X soient comprises dans un intervalle (a, b) correspond précisément à l'aire se trouvant sous sa PDF dans l'intervalle (a, b).
  • Pour les lois discrètes, la probabilité que des valeurs de X soient comprises dans un intervalle (a, b) correspond précisément à la somme de la PDF (aussi appelée fonction de masse de probabilité) des valeurs discrètes de X possibles dans (a, b).
Utilisez la courbe PDF pour déterminer la valeur de la fonction de densité de probabilité à partir d'une valeur de x connue de la variable aléatoire X.

Loi bêta

La loi bêta est souvent utilisée pour représenter les procédés ayant des limites inférieure et supérieure naturelles.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
α paramètre de forme 1
β paramètre de forme 2
ΓFonction gamma
a limite inférieure
b limite supérieure

Lorsque a = 0 et b = 1,

la PDF est calculée comme suit :

Loi binomiale

La loi binomiale permet de représenter le nombre d'événements qui se produisent au cours de n essais indépendants. Les valeurs possibles sont des nombres entiers compris entre zéro et n.

Formule

moyenne = np

variance = np(1 – p)

La fonction de masse de probabilité (PMF) est exprimée comme suit :

est égal à .

En règle générale, vous pouvez calculer k! comme suit :

Notation

TermeDescription
n nombre d'essais
x nombre d'événements
p probabilité d'événement

Loi de Cauchy

La loi de Cauchy est symétrique autour de zéro, mais ses extrémités avoisinent moins rapidement zéro que celles de la loi normale.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
a paramètre d'emplacement
b paramètre d'échelle
π Pi (~3,142)
Remarque

Si vous ne spécifiez pas de valeur, Minitab utilise a = 0 et b = 1.

Loi du Khi deux

Si X présente une loi normale standard, X2 présente une loi du Khi deux avec un degré de liberté, ce qui en fait une loi d'échantillonnage couramment utilisée.

La somme de n variables X2 indépendantes (où X suit une loi normale standard) obéit à une loi du Khi deux à n degrés de liberté. La forme de la loi du Khi deux dépend du nombre de degrés de liberté.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

moyenne = v

variance = 2v

Notation

TermeDescription
ν degrés de liberté
Γfonction gamma
e base du logarithme népérien

Loi discrète

Une loi de probabilité discrète est une loi que vous définissez vous-même. Supposons que vous êtes intéressé par une distribution constituée de trois valeurs −1, 0, 1, avec des probabilités respectives de 0,2, 0,5 et 0,3. Si vous saisissez les valeurs dans les colonnes d'une feuille de travail, vous pouvez les utiliser pour générer des données aléatoires ou pour calculer des probabilités.

Valeur Prob
−1 0,2
0 0,5
1 0,3

Loi exponentielle

La loi exponentielle peut être utilisée pour modéliser le temps écoulé entre des défaillances, par exemple quand des unités ont un taux de défaillance constant et instantané (fonction de risque). La loi exponentielle est un cas particulier de la loi de Weibull et de la loi gamma.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

moyenne = θ + λ

variance = θ2

Notation

TermeDescription
θ paramètre d'échelle
λ paramètre de seuil
exp base du logarithme népérien
Remarque

Certaines références utilisent 1/θ en tant que paramètre.

Loi F

La loi F est aussi connue sous le nom de loi variance-rapport et présente deux types de degrés de liberté : les degrés de liberté de numérateur et de dénominateur. Il s'agit de la loi de distribution du rapport de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois du Khi deux, chacune divisée par ses degrés de liberté.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
ΓFonction gamma
u degrés de liberté du numérateur
v degrés de liberté du dénominateur

Loi gamma

La loi gamma est souvent utilisée pour modéliser des données asymétriques dans le sens positif.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

moyenne = ab + θ

variance = ab2

Notation

TermeDescription
a paramètre de forme (lorsque a = 1, la PDF de gamma est identique à la PDF exponentielle)
b paramètre d'échelle
θ paramètre de seuil
Γfonction gamma
e base du logarithme népérien
Remarque

Certaines références utilisent 1/b en tant que paramètre.

Distribution géométrique

La loi géométrique négative discrète s'applique à une suite d'expériences de Bernoulli indépendantes portant sur un événement d'intérêt ayant une probabilité p.

Formule

Si la variable aléatoire X est le nombre total d'essais nécessaires pour produire un événement avec une probabilité p, la fonction de masse de probabilité (PMF) de X est obtenue de la façon suivante :

et X présente les propriétés suivantes :

Si la variable aléatoire Y correspond au nombre de non-événements qui se produisent avant que le premier événement (avec la probabilité p) soit observé, la fonction de masse de probabilité (PMF) de Y est obtenue de la façon suivante :

et Y présente les propriétés suivantes :

Notation

TermeDescription
X nombre d'essais nécessaires pour produire un événement, Y + 1
Y nombre de non-événements qui se produisent avant le premier événement.
p probabilité qu'un événement se produise pour chaque essai

Loi hypergéométrique

La loi hypergéométrique est utilisée pour les échantillons prélevés auprès de populations restreintes, sans remise. Par exemple, supposons qu'un lot de N téléviseurs comporte N1 postes fonctionnels (succès) et N2 postes défectueux (échec). Si vous prélevez un échantillon aléatoire de n téléviseurs sur N sans remise, vous pouvez obtenir la probabilité pour qu'exactement x des n téléviseurs soient fonctionnels.

Formule

La fonction de masse de probabilité (PMF) est exprimée comme suit :

Notation

TermeDescription
N N1 + N2 = effectif de la population
N1 nombre d'événements dans la population
N2 nombre de non-événements dans la population
n effectif d'échantillon
x nombre d'événements dans l'échantillon

Distribution des entiers

La loi de distribution des entiers est une loi uniforme discrète portant sur un ensemble d'entiers. Chaque entier a la même probabilité d'occurrence.

Loi de Laplace

La loi de Laplace est utilisée lorsque la loi est plus pointue qu'une loi normale.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

moyenne = a

variance = 2b2

Notation

TermeDescription
a paramètre d'emplacement
b paramètre d'échelle
e base du logarithme népérien

Loi avec valeur extrême la plus grande

Utilisez la loi des plus grandes valeurs extrêmes pour modéliser la valeur la plus élevée d'une loi. Si vous disposez d'une suite de lois exponentielles et que X(n) est le maximum de la première valeur de n, la loi de distribution de X(n) – ln(n) converge avec la loi des plus grandes valeurs. De ce fait, pour des valeurs de n élevées, la loi des plus grandes valeurs extrêmes constitue une bonne approximation de la loi de distribution de X(n) – ln(n).

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

moyenne = μ + γσ

variance = π 2 σ 2 / 6

Notation

TermeDescription
σ paramètre d'échelle
μ paramètre d'emplacement
γ constante d'Euler (~0,57722)

Loi de distribution logistique

Loi de distribution symétrique semblable à la loi normale, mais présentant des extrémités plus lourdes.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

moyenne = μ

Notation

TermeDescription
μ paramètre d'emplacement
σ paramètre d'échelle

Loi log-logistique

Une variable x suit une loi log-normale avec un seuil λ si Y = log (xλ) suit une loi logistique.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

quand σ < 1 :

quand σ < 1/2 :

Notation

TermeDescription
μ paramètre d'emplacement
σ paramètre d'échelle
λ paramètre de seuil
Γfonction gamma
exp base du logarithme népérien

Loi log-normale

Une variable x suit une loi log-normale si log(xλ) suit une loi normale.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
μ paramètre d'emplacement
σ paramètre d'échelle
λ paramètre de seuil
π Pi (~3,142)

Loi binomiale négative

La loi binomiale négative discrète s'applique à une série d'expériences de Bernoulli indépendantes portant sur un événement d'intérêt ayant une probabilité p.

Formule

Si la variable aléatoire X est le nombre d'essais nécessaires pour produire des r événements ayant chacun une probabilité p, la fonction de masse de probabilité (PMF) de X est obtenue de la façon suivante :
et X présente les propriétés suivantes :

Si la variable aléatoire Y correspond au nombre de non-événements qui se produisent avant que vous observiez les r événements, qui ont chacun une probabilité p, la fonction de masse de probabilité (PMF) de Y est obtenue de la façon suivante :

et Y présente les propriétés suivantes :

Remarque

Cette loi binomiale négative est également connue sous le nom de loi de Pascal.

Notation

TermeDescription
X Y + r
r nombre d'événements
p probabilité d'un événement

Loi normale

La loi normale (aussi appelée loi de Gauss) est la loi statistique la plus utilisée en raison des nombreux procédés physiques, biologiques et sociaux qu'elle permet de modéliser.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

moyenne = μ

variance = σ 2

écart type = σ

Notation

TermeDescription
expbase du logarithme népérien
π Pi (~3,142)

Loi de Poisson

La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui modélise un nombre d'événements à partir d'un taux d'occurrence constant. La loi de Poisson peut être utilisée comme approximation de la loi binomiale lorsque le nombre d'essais indépendants est élevé et que la probabilité de réussite est faible.

Formule

La fonction de masse de probabilité (PMF) est exprimée comme suit :

moyenne = λ

variance = λ

Notation

TermeDescription
e base du logarithme népérien

Loi des plus petites valeurs extrêmes

Utilisez la loi des plus petites valeurs extrêmes pour modéliser la valeur la plus petite d'une loi. Si Y suit une loi de Weibull, alors Log(Y) suit une loi des plus petites valeurs extrêmes.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
ξ paramètre d'emplacement
θ paramètre d'échelle
e base du logarithme népérien
v constante d'Euler (~0,57722)

Loi t

La loi t converge vers la loi normale quand le nombre de degrés de liberté augmente. Cette loi est utile pour réaliser les opération suivantes :
  • Créer des intervalles de confiance de la moyenne de population à partir d'une loi normale lorsque la variance est inconnue.
  • Déterminer si deux moyennes d'échantillon provenant de populations normales avec des variances inconnues mais égales présentent une différence importante.
  • Tester la signification des coefficients de régression.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

moyenne = 0, où ν > 0

Notation

TermeDescription
ΓFonction gamma
v degrés de liberté
π Pi (~3,142)

Loi triangulaire

La PDF de la loi triangulaire présente une forme triangulaire.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
a borne inférieure
b borne supérieure
c mode (emplacement du pic de la PDF)

Loi uniforme

La loi uniforme caractérise les données d'un intervalle de manière uniforme, avec a comme plus petite valeur et b comme plus grande valeur.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
a borne inférieure
b borne supérieure

Loi de Weibull

La loi de Weibull permet de modéliser les temps de défaillance de produits.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) est calculée comme suit :

La fonction de répartition (CDF) est calculée comme suit :

Notation

TermeDescription
α paramètre d'échelle
β paramètre de forme, lorsque β = 1, la PDF de Weibull est identique à la PDF exponentielle
λ paramètre de seuil
Γfonction gamma
exp base du logarithme népérien
Remarque

Certaines références utilisent 1/α en tant que paramètre.

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