Métodos para Ajustar modelo lineal general

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Modelo GLM

En términos de matriz, esta es la fórmula para el modelo de regresión lineal general:

Notación

TérminoDescription
Yvector de respuestas
Xmatriz de diseño
βvector de parámetros
εvector de variables aleatorias normales independientes

Matriz de diseño

El Modelo lineal general utiliza un método de regresión para ajustar el modelo que se especifique. Primero Minitab crea una matriz de diseño a partir de los factores y las covariables, y el modelo que usted especifique. Las columnas de esta matriz son los predictores de la regresión.

La matriz de diseño tiene n filas donde n = número de observaciones y varios bloques de columnas correspondientes a los términos en el modelo. El primer bloque se reserva para la constante y contiene sólo una columna formada por números uno. El bloque de una covariable también contiene sólo una columna, la propia columna de la covariable. El bloque de columnas para un factor contiene columnas r, donde r = grados de libertad para el factor y están codificadas como se muestra en el ejemplo a continuación.

Supongamos que A es un factor con 4 niveles. Luego, supongamos que tiene 3 grados de libertad y que su bloque contiene 3 columnas, que llamaremos A1, A2, A3.

Nivel de A A1 A2 A3
1 1 0 0
2 0 1 0
3 0 0 1
4 –1 –1 –1

Supongamos que el factor B tiene 3 niveles anidados dentro de cada nivel de A. Entonces su bloque contiene (3 - 1) x 4 = 8 columnas, las llamaremos B11, B12, B21, B22, B31, B32, B41, B42, codificadas como sigue:

Nivel de A Nivel de B B11 B12 B21 B22 B31 B32 B41 B42
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 0 0 0 0
1 3 –1 –1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 1 0 0 0 0 0
2 2 0 0 0 1 0 0 0 0
2 3 0 0 –1 –1 0 0 0 0
3 1 0 0 0 0 1 0 0 0
3 2 0 0 0 0 0 1 0 0
3 3 0 0 0 0 –1 –1 0 0
4 1 0 0 0 0 0 0 1 0
4 2 0 0 0 0 0 0 0 1
4 3 0 0 0 0 0 0 –1 –1

Para calcular las columnas de un término de interacción, solo multiplique todas las columnas correspondientes por los factores o covariables en la interacción. Por ejemplo, suponga que el factor A tiene 6 niveles, C tiene 3 niveles, D tiene 4 niveles y Z y W son covariables. Entonces el término A * C * D * Z * W * W tiene 5 x 2 x 3 x 1 x 1 x 1 = 30 columnas. Para obtenerlas, multiplique cada columna de A por cada una de C, por cada una de D, por las covariables de Z una vez y las de W dos veces.

Transformación de Box-Cox

La transformación de Box Cox selecciona los valores de lambda, como se muestra a continuación, que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos. La transformación resultante es Y λ cuando λ ≠ 0 y ln(Y) cuando λ = 0. Cuando λ < 0, Minitab también multiplica la respuesta transformada por −1 para mantener el orden de la respuesta no transformada.

Minitab busca un valor óptimo entre −2 y 2. Los valores que estén fuera de este intervalo podrían no producir un mejor ajuste.

Las siguientes son algunas transformaciones comunes donde Y′ es la transformación de los datos Y:

Valor de lambda (λ) Transformación
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0.5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0.5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

Regresión ponderada

La regresión de mínimos cuadrados ponderados es un método para tratar las observaciones que tienen varianzas no constantes. Si las varianzas no son constantes, a las observaciones con:

  • a las grandes varianzas se les debe ofrecer ponderaciones relativamente pequeñas
  • a las pequeñas varianzas se les debe ofrecer ponderaciones relativamente grandes

La elección de ponderaciones generalmente es la inversa de la varianza de error puro en la respuesta.

La fórmula de los coeficientes estimados es como sigue:
Esto equivale a minimizar el error de SC ponderado.

Notación

TérminoDescription
Xmatriz de diseño
X'transpuesta de la matriz de diseño
Wuna matriz n x n con las ponderaciones en la diagonal
Yvector de valores de respuesta
nnúmero de observaciones
wiponderación de la iésima observación
yivalor de respuesta de la iésima observación
valor ajustado de la iésima observación

Cómo elimina Minitab los predictores muy correlacionados de la ecuación de regresión en Ajustar modelo lineal general

Para eliminar los predictores muy correlacionados de una ecuación de regresión, Minitab realiza los siguientes pasos:
  1. Minitab realiza una descomposición QR en la matriz X.
    Nota

    Usar la descomposición QR para calcular el R2 es más rápido que usar la regresión de mínimos cuadrados.

  2. Minitab hace la regresión de un predictor sobre todos los demás predictores y calcula el valor de R2. Si 1 – R2 < 4 * 2.22e-16, entonces el predictor no pasa la prueba y es eliminado del modelo.
  3. Minitab repite los pasos 1 y 2 para los predictores restantes.

Ejemplo

Supongamos que un modelo contiene los predictores X1, X2, X3, X4 y X5 y la respuesta Y, Minitab hace lo siguiente:
  1. Minitab hace la regresión de X5 sobre X1-X4. Si 1 – R2 es mayor que 4 * 2.22e-16, entonces X5 permanece en la ecuación. X5 pasa la prueba y permanece en la ecuación.
  2. Minitab hace la regresión de X4 sobre X1, X2, X3 y X5. Supongamos que 1 – R2 para esta regresión es mayor que 4 * 2.22e-16 y, por lo tanto, permanece en la ecuación.
  3. Minitab hace la regresión de X3 sobre X1, X2, X4 y X5 y calcula el valor de R2. X3 no pasa la prueba y es eliminado de la ecuación.
  4. Minitab realiza una nueva descomposición QR sobre la matriz X y hace la regresión de X2 sobre los predictores restantes, X1, X4 y X5. X2 pasa la prueba.
  5. Minitab hace la regresión de X1 sobre X2, X4 y X5. No pasa la prueba y es eliminado de la ecuación.

Minitab hace la regresión de Y sobre X2, X4, X5. Los resultados incluyen un mensaje que indica que los predictores X1 y X3 no se pueden estimar y fueron eliminados del modelo.

Nota

Usted puede usar el subcomando TOLERANCE con el comando de sesión GLM para hacer que Minitab mantenga en el modelo un predictor que esté muy correlacionado con otro predictor. Sin embargo, bajar la tolerancia podría ser peligroso debido a la posibilidad de que se produzcan resultados numéricamente inexactos.

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