Métodos y fórmulas para los intervalos de tolerancia en Intervalos de tolerancia (Distribución no normal)

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Métodos para intervalos de tolerancia

Minitab calcula los intervalos de tolerancia tanto paramétricos como no paramétricos. Los cálculos para los intervalos de tolerancia no paramétricos solo presuponen que la distribución original es continua. Los cálculos para los intervalos de tolerancia paramétricos presuponen que la distribución original de la muestra es una de estas distribuciones:
  • Lognormal
  • Gamma
  • Exponencial
  • Valor extremo más pequeño
  • Weibull
  • Valor extremo más grande
  • Logística
  • Loglogística

Definiciones generales

Sean X1, X2, ..., Xn los estadísticos ordenados con base en una muestra aleatoria de tamaño n proveniente de una distribución continua.

Sea F(χ;θ) la función de distribución para Ω en algún espacio de parámetro con una dimensión mayor que o igual a 1.

Sean L < U dos estadísticos basados en la muestra tal que para cualquier valor α y P dado, con 0 < α < 1 y 0 < P < 1, se cumpla lo siguiente para cada θ en Ω:

Entonces, el intervalo [L, U] es un intervalo de tolerancia bilateral con contenido = P x 100% y nivel de confianza = 100(1 – α)%. Tal intervalo se puede denominar un intervalo de tolerancia (1 – α, P) bilateral. Por ejemplo, si α = 0.10 y P = 0.85, entonces el intervalo resultante se denomina un intervalo de tolerancia (90%, 0.85) bilateral.

Si L = –∞ y U < +∞, entonces el intervalo (-∞, U] se denomina un borde de tolerancia superior (1 – α, P) unilateral. Si L > -∞ y U = +∞, entonces el intervalo [L, +∞) se denomina un borde de tolerancia inferior (1 – α, P) unilateral.

Los intervalos de tolerancia poseen las siguientes propiedades útiles e interesantes:
  • Un borde de tolerancia inferior (1 – α, P) unilateral también es un borde de tolerancia superior (P, 1 – α) unilateral.
  • Un borde de confianza inferior (1 – α )100% unilateral del percentil (1 – P) de la distribución de los datos es también un borde de tolerancia inferior (1 – α, P) unilateral. Igualmente, un borde de confianza superior (1 – α )100% unilateral del percentil P de la distribución de los datos es también un borde de tolerancia superior (1 – α , P) unilateral.
  • Si L y U son los bordes de tolerancia inferior y superior (1 – α/2 , (1 + P )/2) unilaterales, entonces [ L, U ] es un intervalo de tolerancia (1 – α, P ) bilateral aproximado. Este método se puede utilizar en casos en que no se pueden obtener intervalos de tolerancia bilaterales. Los intervalos de tolerancia bilaterales resultantes son generalmente conservadores. Véase Guenther1 y Hahn y Meeker2.
  1. Guenther, W. C. (1972). Tolerance intervals for univariate distributions. Naval Research Logistics, 19: 309–333.
  2. Hahn G. J. y Meeker W. Q. (1991). Statistical Intervals: A Guide for Practitioners John Wiley & Sons, New York.

Intervalos de tolerancia no paramétricos exactos para distribuciones continuas

Minitab calcula intervalos de tolerancia no paramétricos (1 – α, P) exactos, donde 1 – α es el nivel de confianza y P es la cobertura (el porcentaje mínimo objetivo de la población en el intervalo). El método no paramétrico para intervalos de tolerancia es un método independiente de la distribución. Es decir, el intervalo de tolerancia no paramétrico no depende de la población original de la muestra. Minitab utiliza un método exacto para intervalos tanto unilaterales como bilaterales.

Sean X 1, X 2 , ... , X n los estadísticos ordenados con base en una muestra aleatoria de cierta población F(x;θ) distribuida continuamente. Entonces, según lo determinado por Wilks1, 2 y Robbins3, se puede mostrar que:

donde B denota la función de distribución acumulada de la distribución beta con los parámetros a = r y b = ns + 1. Por lo tanto, ( Xr , Xs ) es un intervalo de tolerancia independiente de la distribución, porque la cobertura del intervalo tiene una distribución beta con valores de parámetros conocidos, que son independientes de la distribución de la población original, F(x;θ).

Intervalos unilaterales

Sea k el entero más grande que satisface lo siguiente:

donde Y es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y 1 – P. Se puede indicar (véase Krishnamoorthy y Mathew4) que un borde de tolerancia inferior (1 – α, P) unilateral viene dado por Xk. Del mismo modo, un borde de tolerancia superior (1 – α, P) unilateral viene dado por Xn - k +1. En ambos casos, la cobertura real o efectiva viene dada por P(Y > k).

Intervalos bilaterales

Sea k el entero más pequeño que satisface lo siguiente:

donde V es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y P. Por lo tanto,

donde F V -1(x) es la función de distribución acumulada inversa de V. Se puede indicar (véase Krishnamoorthy y Mathew4) que un intervalo de tolerancia (1 – α, P) bilateral pudiera obtenerse como ( Xr , Xs ). Minitab elige s = n - r + 1 tal que r = ( nk + 1) / 2. Tanto r como s se redondean por defecto al entero más cercano. La cobertura real o efectiva viene dada por P(V < k – 1).

Notación

TérminoDescription
1 – αel nivel de confianza del intervalo de tolerancia
P la cobertura del intervalo de tolerancia (el porcentaje mínimo objetivo de la población en el intervalo)
n el número de observaciones en la muestra
  1. Wilks, S. S. (1941). Sample size for tolerance limits on a normal distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 12, 91–96.
  2. Wilks, S. S. (1941). Statistical prediction with special reference to the problem of tolerance limits. The Annals of Mathematical Statistics, 13, 400–409.
  3. Robbins, H. (1944). On distribution-free tolerance limits in random sampling. The Annals of Mathematical Statistics, 15, 214–216.
  4. Krishnamoorthy, K. y Mathew, T. (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. Wiley, Hoboken, NJ.

Distribución lognormal

El intervalo de tolerancia para la distribución lognormal utiliza las mismas ecuaciones que los intervalos de tolerancia para la distribución normal. Los cálculos siguen este proceso:
  1. Minitab saca el logaritmo natural de los datos.
  2. Minitab calcula un intervalo de tolerancia para los datos transformados usando el procedimiento de intervalo de tolerancia para la distribución normal.
  3. Minitab eleva a una potencia los límites del intervalo de tolerancia obtenido en el paso anterior para transformar el intervalo a la escala de los datos originales.
Para las fórmulas que se aplican a la distribución normal, vaya a Métodos y fórmulas para Intervalos de tolerancia (Distribución normal) y haga clic en "Intervalos de tolerancia exactos para distribuciones normales".

Intervalos de tolerancia aproximados para distribuciones gamma

El intervalo de tolerancia para la distribución gamma utiliza una aproximación a la distribución normal. Krishnamoorthy, et al. realizaron estudios de simulación que demuestran que la aproximación proporciona resultados exactos. Los cálculos siguen este proceso:

  1. Minitab saca la raíz cúbica de los datos.
  2. Minitab calcula un intervalo de tolerancia para los datos transformados usando el procedimiento de intervalo de tolerancia para la distribución normal.
  3. Minitab eleva a una potencia los límites del intervalo de tolerancia obtenido en el paso anterior para transformar el intervalo a la escala de los datos originales.
Para las fórmulas que se aplican a la distribución normal, vaya a Métodos y fórmulas para Intervalos de tolerancia (Distribución normal) y haga clic en "Intervalos de tolerancia exactos para distribuciones normales".
  1. Krishnamoorthy K., Mathew T y Mukherjee S (2008). Normal based methods for a Gamma distribution: prediction and tolerance intervals and stress-strength reliability. Technometrics, 50, 69—78.

Distribución exponencial

Minitab calcula intervalos de tolerancia (1 – α, P) exactos, donde 1 – α es el nivel de confianza y P es la cobertura (el porcentaje mínimo objetivo de la población en el intervalo). Las fórmulas difieren entre el cálculo de los límites de tolerancia unilaterales y los intervalos de tolerancia bilaterales.

Límites de tolerancia exponenciales unilaterales

Esta fórmula proporciona el límite inferior:

Esta fórmula proporciona el límite superior:

Intervalos de confianza exponenciales bilaterales

Minitab utiliza el método de Newton para resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Para obtener más detalles, consulte Fernández1.

Esta fórmula proporciona el intervalo bilateral:

Donde,

y el valor de k 1 depende de la solución a este sistema de ecuaciones:

donde,

Notación

TérminoDescription
n el tamaño de la muestra
la media de la muestra
P el porcentaje mínimo objetivo de población en el intervalo
el percentil α de la distribución de chi-cuadrada con 2n grados de libertad
α 1 − nivel de confianza
la función de distribución acumulada de la distribución de chi-cuadrada con 2n grados de libertad
  1. Fernández, Arturo J. (2010). Two-sided tolerance intervals in the exponential case: Corrigenda and generalizations. Computational Statistics and Data Analysis, 54, 151—162.

Distribución de valor extremo más pequeño

Minitab calcula intervalos de tolerancia (1 – α, P) exactos de acuerdo con Lawless1, donde 1 – α es el nivel de confianza y P es la cobertura (el porcentaje mínimo objetivo de la población en el intervalo).

Límites de tolerancia unilaterales exactos de valor extremo más pequeño

Esta fórmula proporciona el límite inferior:

donde

y x es la raíz única de esta función:

con

donde

y Cz es una constante de normalización:
Además, la función IGn [x] es la función gamma incompleta:
Esta fórmula proporciona el límite superior:

El valor de k 2 se obtiene al reemplazar α por 1 − α y P por 1 − P en las fórmulas para calcular k 1.

Intervalos de tolerancia bilaterales aproximados de valor extremo más pequeño

Para calcular el intervalo bilateral aproximado, reemplace α por α/2 y P por (P + 1)/2 en las fórmulas para calcular los límites de tolerancia unilaterales.

Notación

TérminoDescription
la estimación de máxima verosimilitud del parámetro de ubicación de la distribución de valor extremo
la estimación de máxima verosimilitud del parámetro de escala de la distribución de valor extremo
, las observaciones centradas con base en las estimaciones de MLE de los parámetros de ubicación y escala de la distribución de valor extemo más pequeño
t el percentil α de la distribución t no central con n − 1 grados de libertad y el parámetro de no centralidad δP
1 - α el nivel de confianza del intervalo de tolerancia
P la cobertura del intervalo de tolerancia (el porcentaje mínimo objetivo de la población en el intervalo)
n el número de observaciones en la muestra
  1. Lawless, J. F. (1975). Construction of tolerance bounds for the extreme-value and the Weibull distribution. Technometrics, 17, 255—261.

Distribución de Weibull

El intervalo de tolerancia para la distribución de Weibull utiliza las mismas ecuaciones que los intervalos de tolerancia para la distribución de valor extremo más pequeño. Los cálculos siguen este proceso:
  1. Minitab saca el logaritmo natural de los datos.
  2. Minitab calcula un intervalo de tolerancia para los datos transformados usando el procedimiento de intervalo de tolerancia para la distribución de valor extremo más pequeño.
  3. Minitab eleva a una potencia los límites del intervalo de tolerancia obtenido en el paso anterior para transformar el intervalo a la escala de los datos originales.
Para las fórmulas que se aplican a la distribución de valor extremo más pequeño, vaya a la sección sobre la distribución de valor extremo más pequeño.

Distribución de valor extremo más grande

El intervalo de tolerancia para la distribución de valor extremo más grande utiliza las mismas ecuaciones que los intervalos de tolerancia para la distribución de valor extremo más pequeño. Los cálculos siguen este proceso:
  1. Minitab multiplica los datos por −1.
  2. Minitab calcula una tolerancia para los datos transformados usando el procedimiento de intervalo de tolerancia para la distribución de valor extremo más pequeño.
  3. Minitab eleva a una potencia los límites del intervalo de tolerancia obtenido en el paso anterior para transformar el intervalo a la escala de los datos originales.

Para las fórmulas que se aplican a la distribución de valor extremo más pequeño, vaya a la sección sobre la distribución de valor extremo más pequeño.

Distribución logística

Minitab calcula intervalos de tolerancia (1 – α, P) aproximados de acuerdo con Bain y Englehardt1, donde 1 – α es el nivel de confianza y P es la cobertura (el porcentaje mínimo objetivo de la población en el intervalo). Las fórmulas difieren entre el cálculo de los límites de tolerancia unilaterales y los intervalos de tolerancia bilaterales.

Límites de tolerancia logísticos unilaterales

Esta fórmula proporciona el límite inferior:
Esta fórmula proporciona el límite superior:
Esta fórmula proporciona el factor de tolerancia, k, en estas fórmulas para los límites:

donde

Límites de tolerancia logísticos bilaterales

Para calcular el intervalo bilateral aproximado, reemplace α por α/2 y P por (P + 1)/2 en las fórmulas para calcular los límites de tolerancia unilaterales.

Notación

TérminoDescription
nel número de observaciones en la muestra
z1−αel percentil 1 - α de la distribución normal estándar
q1–Pel percentil 1 – P de la distribución logística estándar
C11
C22
C12
la estimación de máxima verosimilitud del parámetro de ubicación logístico
la estimación de máxima verosimilitud del parámetro de escala logístico
  1. Bain, L. y Englehardt, M. (1991). Statistical analysis of reliability and life testing models: Theory and Methods. Second edition, Marcel Dekker, Inc.

Distribución loglogística

El intervalo de tolerancia para la distribución loglogística utiliza las mismas ecuaciones que los intervalos de tolerancia para la distribución logística. Los cálculos siguen este proceso:
  1. Minitab saca el logaritmo natural de los datos.
  2. Minitab calcula un intervalo de tolerancia para los datos transformados usando el procedimiento de intervalo de tolerancia para la distribución logística.
  3. Minitab eleva a una potencia los límites del intervalo de tolerancia obtenido en el paso anterior para transformar el intervalo a la escala de los datos originales.

Para las fórmulas que se aplican a la distribución logística, vaya a la sección sobre la distribución logística.

Prueba de Anderson-Darling

Minitab utiliza el estadístico de Anderson-Darling para realizar la prueba de bondad de ajuste.

Sea Z = F(X), donde F(X) es la función de distribución acumulada. Supongamos que una muestra X1, .., Xn da los valores Z(i) = F(Xi), i=1,.., n. Reordene Z(i) en orden ascendente, Z(1) < Z(2) <...<Z(n). Entonces, el estadístico de Anderson-Darling (A2) se calcula de la siguiente manera:

  • A2 = –n - (1/n) Σi[(2i – 1) log Z(i) + (2n + 1 – 2i) log (1 – Z(i))]

El estadístico de la prueba de bondad de ajuste modificada de Anderson-Darling se calcula para cada distribución. Los valores p se basan en la tabla proporcionada por D'Agostino y Stephens.1 Si no se encuentra un valor p exacto en la tabla, Minitab calcula el valor p basado en la interpolación utilizando el rango del valor p.

1 R.B. D'Agostino y M.A. Stephens (1986). Goodness-of-Fit Techniques. Marcel Dekker.
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