Métodos y fórmulas para datos con la transformación de Johnson en Análisis de capacidad normal

Índices de capacidad para datos con transformación de Johnson

La transformación de Johnson selecciona de forma óptima una función entre tres familias de distribuciones de una variable, las cuales se transforman fácilmente en una distribución normal estándar. Estas distribuciones se etiquetan como SB, SL y SU, donde B, L y U se refieren a la variable con límites, lognormal y sin límites. Minitab identifica los parámetros de las distribuciones como primera forma, segunda forma, ubicación y escala. Para obtener más información, vaya a Métodos y fórmulas para las transformaciones en Identificación de distribución individual y haga clic en "Métodos y fórmulas para la transformación de Johnson".

Cuando ambos límites de especificación están en el rango de la función de transformación, Minitab calcula los índices de capacidad general con base en la distribución normal de los datos transformados. Para obtener más información, vaya a Métodos y fórmulas para las medidas de capacidad general en Análisis de capacidad normal.

Cuando la familia seleccionada es el tipo SB o SL y el límite de especificación inferior y/o superior está fuera del rango de la distribución, Minitab realiza cálculos adicionales para generar los índices de capacidad general.

Distribución SB

Si por lo menos uno de los límites de especificación (X) está fuera del rango de la distribución (no ε < X < ε + λ) antes de la transformación, Pp, Ppk, PPL, PPU, Z.LEI y Z.LES se calculan de la siguiente forma.

Primero, Minitab calcula los percentiles en el espacio transformado.

Utilizando los tres valores Z, Minitab calcula los valoores X1, X2 y X3 correspondientes en el espacio original:

Los índices de capacidad general se calculan entonces a partir de los valores X y de los valores de los límites de especificación.

Notación

TérminoDescription
LEILímite de especificación inferior
LESLímite de especificación superior
Media de la muestra (X) de los datos transformados
TolerTolerancia en desviaciones estándar
sDesviación estándar de la muestra de los datos transformados
ε,Parámetro de ubicación de la transformación de Johnson
γParámetro de forma de la transformación de Johnson
ηParámetro de forma de la transformación de Johnson (η > 0)
λParámetro de escala de la transformación de Johnson (λ > 0)

Los cálculos para Nivel Z y los valores de desempeño esperado de una distribución SB dependen de las ubicaciones del LEI y el LES en relación con X2 y los límites de la distribución.

LEI y LES están en lados opuestos de X2
  • Cuando tanto el LEI y el LES están fuera del rango de la distribución, Minitab muestra lo siguiente:

    El Nivel Z falta

    PPM < LEI = 0

    PPM > LES = 0

    PPM Total = 0

  • Cuando un límite de especificación está fuera del rango de la distribución y el otro límite de especificación está dentro del rango de la distribución, Minitab calcula los siguientes valores:

    PPM para límite de especificación fuera del rango = 0

    PPM para límite de especificación dentro del rango = p*1000000

    PPM Total = p*1000000

    Nota

    Minitab utiliza los datos transformados y los límites de especificación transformados para calcular PPM.

LEI y LES están a la izquierda de X2
  • Cuando tanto el LEI y el LES están fuera del rango de la distribución, Minitab muestra lo siguiente:

    El Nivel Z falta

    PPM < LEI = 0

    PPM > LES = 1

    PPM Total = 1

  • Cuando el LEI está fuera del rango de la distribución y el LES está dentro del rango de la distribución, Minitab calcula los siguientes valores:

    PPM < LEI = 0

    PPM > LEI = p*1000000

    PPM Total = PPM > LES

    Nota

    Minitab utiliza los datos transformados y los límites de especificación transformados para calcular PPM.

LEI y LES están a la derecha de X2
  • Cuando tanto el LEI y el LES están fuera del rango de la distribución, Minitab muestra lo siguiente:

    El Nivel Z falta

    PPM < LEI = 1

    PPM > LES = 0

    PPM Total = 1

  • Cuando el LEI está dentro del rango de la distribución y el LES está fuera del rango de la distribución, Minitab calcula los siguientes valores.

    PPM < LEI = p*1000000

    PPM > LES = 0

    PPM Total = PPM < LEI

    Nota

    Minitab utiliza los datos transformados y los límites de especificación transformados para calcular PPM.

Distribución SL

Si por lo menos uno de los límites de especificación está fuera del rango de la distribución antes de la transformación, Minitab utiliza el mismo método que se mostró arriba para la distribución SB para calcular Pp, Ppk, PPL, PPU, Z.LEI y Z.LES. El único cambio es la fórmula para calcular el valor X original a partir del valor Z transformado.

Los cálculos para Nivel Z y los valores de desempeño esperado para una distribución SL dependen de las ubicaciones del LEI y el LES en relación con ε.
LEI y LES son menores que o igual a ε (ambos están fuera del rango de la diustribución)

El Nivel Z falta

PPM < LEI = 0

PPM > LES = 1

PPM Total = 1

LEI es menor que o igual a ε

PPM < LEI = 0

PPM > LEI = p*1000000

PPM Total = PPM > LES

Notación

TérminoDescription
Función de distribución acumulada (cdf) inversa de una distribución normal estándar
pProbabilidad de que los datos transformados estén fuera del límite de especificación transformado
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