Métodos y fórmulas para la Distribuciones de probabilidad

Seleccione el método o la fórmula de su preferencia.

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (PDF) de una variable aleatoria, X, permite calcular la probabilidad de un evento de la siguiente manera:
  • Para las distribuciones continuas, la probabilidad de que X tenga valores en un intervalo (a, b) es precisamente el área por debajo de su PDF en el intervalo (a, b).
  • Para las distribuciones discretas, la probabilidad de que X tenga valores en un intervalo (a, b) es exactamente la suma de la PDF (también denominada función de masa de probabilidad) de los posibles valores discretos de X en (a, b).
Utilice la PDF para determinar el valor de la función de densidad de probabilidad en un valor conocido de x de la variable aleatoria X.

Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada (CDF) calcula la probabilidad acumulada para un valor dado de x. Utilice la CDF para determinar la probabilidad de que una observación aleatoria que se tome de la población sea menor que o igual a cierto valor. También puede usar esta información para determinar la probabilidad de que una observación sea mayor que cierto valor o se encuentre entre dos valores.
  • Para distribuciones continuas, la CDF proporciona el área por debajo de la función de densidad de probabilidad, hasta el valor de x que usted especifique.
  • Para distribuciones discretas, la CDF proporciona la probabilidad acumulada para los valores de x que usted especifique.

Probabilidad acumulada inversa

Para un número p en el intervalo cerrado [0,1], la función de distribución acumulada inversa (ICDF) de una variable X aleatoria determina, donde sea posible, un valor de x tal que la probabilidad de X ≤ x sea mayor que o igual a p.

La ICDF de distribuciones continuas

La ICDF es el valor que se asocia con un área por debajo de la función de densidad de probabilidad. La ICDF es la inversa de la función de distribución acumulada (CDF), que es el área que se asocia con un valor.

Para todas las distribuciones continuas, la ICDF existe y es única si 0 < p < 1.

  • Cuando la función de densidad de probabilidad (PDF) es positiva para toda la línea de números reales (por ejemplo, la PDF normal), la ICDF no se define para p = 0 ni p = 1.
  • Cuando la PDF es positiva para todos los valores que son mayores que cierto valor (por ejemplo, la PDF de chi-cuadrada), la ICDF se define para p = 0, pero no para p = 1.
  • Cuando la PDF es positiva solo en un intervalo (por ejemplo, la PDF uniforme), la ICDF se define para p = 0 y p = 1.
  • Cuando la ICDF no está definida, Minitab devuelve un valor faltante (*) en el resultado.
La ICDF para distribuciones discretas
La ICDF es más complicada para las distribuciones discretas que para las distribuciones continuas. Cuando usted calcula la CDF para una binomial con, por ejemplo, n = 5 y p = 0.4, no hay un valor de x tal que la CDF sea 0.5. Para x = 1, la CDF es 0.3370. Para x = 2, la CDF aumenta a 0.6826.
Cuando la ICDF se muestra en la ventana Sesión (es decir, los resultados no están almacenados), se muestran ambos valores de x. Cuando la ICDF se almacena, se almacena el mayor de los dos valores.

Distribución beta

La distribución beta suele utilizarse para representar procesos con límites inferiores y superiores naturales.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

TérminoDescription
α parámetro de forma 1
β parámetro de forma 2
Γfunción gamma
a límite inferior
b límite superior

Cuando a = 0, b = 1,

la PDF es:

Distribución binomial

La distribución binomial se utiliza para representar el número de eventos que ocurren en n ensayos independientes. Los valores posibles son enteros de cero a n.

Fórmula

media = np

varianza = np(1 – p)

La función de masa de probabilidad (PMF) es:

Donde es igual a .

Generalmente, puede calcular k! como

Notación

TérminoDescription
n número de ensayos
x número de eventos
p probabilidad del evento

Distribución de Cauchy

La distribución de Cauchy es simétrica alrededor de cero, pero las colas se aproximan a cero con menor rapidez que las de la distribución normal.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

TérminoDescription
a parámetro de ubicación
b parámetro de escala
π Pi (~3.142)
Nota

Si usted no especifica valores, Minitab utiliza a = 0 y b = 1.

Distribución de chi-cuadrada

Si X tiene una distribución normal estándar, X2 tiene una distribución de chi-cuadrada con un grado de libertad, lo que le permite ser una distribución de muestreo de uso común.

La suma de n variables X2 independientes (donde X tiene una distribución normal estándar) tiene una distribución de chi-cuadrada con n grados de libertad. La forma de la distribución de chi-cuadrada depende del número de grados de libertad.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

media = v

varianza = 2v

Notación

TérminoDescription
ν grados de libertad
Γfunción gamma
e base del logaritmo natural

Distribución discreta

Una distribución discreta es una distribución que usted mismo define. Por ejemplo, supongamos que usted está interesado en una distribución compuesta por tres valores −1, 0, 1, con probabilidades de 0.2, 0.5 y 0.3, respectivamente. Si ingresa los valores en columnas de una hoja de trabajo, entonces puede utilizar estas columnas para generar datos aleatorios o calcular probabilidades.

Valor Prob
−1 0.2
0 0.5
1 0.3

Distribución exponencial

La distribución exponencial se puede utilizar para modelar tiempo entre fallas, como cuando las unidades tienen una tasa de fallas constante e instantánea (función de riesgo). La distribución exponencial es un caso especial de la distribución de Weibull y la distribución gamma.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

media = θ + λ

varianza = θ2

Notación

TérminoDescription
θ parámetro de escala
λ parámetro de valor umbral
exp base del logaritmo natural
Nota

Algunas referencias utilizan 1 / θ para un parámetro.

Distribución F

La distribución F también es conocida como la distribución de relación de varianzas y tiene dos tipos de grados de libertad: grados de libertad del numerador y grados de libertad del denominador. Es la distribución de la relación de dos variables aleatorias independientes con distribuciones de chi-cuadrada, cada una de las cuales se divide entre sus grados de libertad.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

TérminoDescription
Γfunción gamma
u grados de libertad del numerador
v grados de libertad del denominador

Distribución gamma

La distribución gamma se utiliza comúnmente para modelar datos asimétricos positivamente.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

media = ab + θ

varianza = ab2

Notación

TérminoDescription
a parámetro de forma (cuando a = 1, la PDF de gamma es la misma que la PDF exponencial)
b parámetro de escala
θ parámetro de valor umbral
Γ función gamma
e base del logaritmo natural
Nota

Algunas referencias utilizan 1 / b para un parámetro.

Distribución geométrica

La distribución geométrica discreta se aplica a una secuencia de experimentos de Bernoulli independientes con un evento de interés que tiene una probabilidad p.

Fórmula

Si la variable aleatoria X es el número total de ensayos necesarios para producir un evento con probabilidad p, entonces la función de masa de probabilidad (PMF) de X viene dada por:

y X presenta las siguientes propiedades:

Si la variable aleatoria Y es el número de no eventos que ocurren antes de que se observe el primer evento (con probabilidad p), entonces la función de masa de probabilidad (PMF) de Y viene dada por:

y Y presenta las siguientes propiedades:

Notación

TérminoDescription
X número de ensayos para producir un evento, Y + 1
Y número de no eventos que ocurren antes del primer evento
p probabilidad de que ocurra un evento en cada ensayo

Distribución hipergeométrica

La distribución hipergeométrica se utiliza para muestras obtenidas de poblaciones pequeñas, sin reemplazo. Por ejemplo, usted tiene un envío de N televisores, donde N1 se encuentran en buen estado (éxito) y N2 están defectuosos (falla). Si usted toma una muestra de n televisores de N aleatoriamente, sin reemplazo, puede determinar la probabilidad de que exactamente x de los n televisores estén en buen estado.

Fórmula

La función de masa de probabilidad (PMF) es:

Notación

TérminoDescription
N N1 + N2 = tamaño de la población
N1 número de eventos en la población
N2 número de no eventos en la población
n tamaño de la muestra
x número de eventos en la muestra

Distribución de enteros

La distribución de enteros es una distribución uniforme discreta en un conjunto de enteros. Cada entero tiene igual probabilidad de ocurrir.

Distribución normal

La distribución normal (también conocida como distribución de Gauss) es la distribución estadística más utilizada debido a los muchos procesos físicos, biológicos y sociales que puede modelar.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

media = μ

varianza = σ 2

desviación estándar = σ

Notación

TérminoDescription
expbase del logaritmo natural
π Pi (~3.142)

Distribución de Laplace

La distribución de Laplace se utiliza cuando la distribución tiene un pico más alto que una distribución normal.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

media = a

varianza = 2b2

Notación

TérminoDescription
a parámetro de ubicación
b parámetro de escala
e base del logaritmo natural

Distribución de valor extremo más grande

Utilice la distribución de valor extremo más grande para modelar el valor más grande de una distribución. Si usted tiene una secuencia de distribuciones exponenciales y X(n) es el máximo de la primera n, entonces X(n) – ln(n) converge en distribución a la distribución de valor extremo más grande. Por lo tanto, para valores grandes de n, la distribución de valor extremo más grande es una aproximación adecuada a la distribución de X(n) – ln(n).

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

media = μ + γσ

varianza = π 2 σ 2 / 6

Notación

TérminoDescription
σ parámetro de escala
μ parámetro de ubicación
γ Constante de Euler (~0.57722)

Distribución logística

Una distribución continua que es simétrica, similar a la distribución normal, pero con colas más pesadas.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

media = μ

Notación

TérminoDescription
μ parámetro de ubicación
σ parámetro de escala

Distribución loglogística

Una variable x tiene una distribución loglogística con valor umbral λ si Y = log (xλ) tiene una distribución loglogística.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

cuando σ < 1:

cuando σ < 1/2:

Notación

TérminoDescription
μ parámetro de ubicación
σ parámetro de escala
λ parámetro de valor umbral
Γ función gamma
exp base del logaritmo natural

Distribución lognormal

Una variable x tiene una distribución lognormal si log(xλ ) tiene una distribución normal.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

Notación

TérminoDescription
μ parámetro de ubicación
σ parámetro de escala
λ parámetro de valor umbral
π Pi (~3.142)

Distribución binomial negativa

La distribución binomial negativa discreta se aplica a una serie de experimentos de Bernoulli independientes con un evento de interés que tiene una probabilidad p.

Fórmula

Si la variable aleatoria X es el número de ensayos necesarios para producir r eventos que tienen cada uno una probabilidad p, entonces la función de masa de probabilidad (PMF) de X viene dada por:
y X presenta las siguientes propiedades:

Si la variable aleatoria Y es el número de no eventos que ocurren antes de que usted observe los eventos r, cada uno con una probabilidad p, entonces la función de masa de probabilidad (PMF) de Y viene dada por:

y Y presenta las siguientes propiedades:

Nota

Esta distribución binomial negativa también se conoce como la distribución de Pascal.

Notación

TérminoDescription
X Y + r
r número de eventos
p probabilidad de un evento

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es una distribución discreta que modela el número de eventos con base en una tasa constante de ocurrencia. La distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación a la binomial cuando el número de ensayos independientes sea grande y la probabilidad de éxito sea pequeña.

Fórmula

La función de masa de probabilidad (PMF) es:

media = λ

varianza = λ

Notación

TérminoDescription
e base del logaritmo natural

Distribución de valor extremo más pequeño

Utilice la distribución de valor extremo más pequeño para modelar el valor más pequeño de una distribución. Si Y sigue una distribución de Weibull, entonces log(Y) sigue una distribución de valor extremo más pequeño.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

Notación

TérminoDescription
ξ parámetro de ubicación
θ parámetro de escala
e base del logaritmo natural
v Constante de Euler (~0.57722)

distribución t

La distribución t converge hacia la distribución normal a medida que aumentan los grados de libertad. La distribución t es útil para hacer lo siguiente:
  • Crear intervalos de confianza de la media de la población de una distribución normal cuando se desconoce la varianza.
  • Determinar si las medias de dos muestras de poblaciones normales con varianzas desconocidas, aunque iguales, son significativamente diferentes.
  • Probar la significancia de los coeficientes de regresión.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

media = 0, cuando ν > 0

Notación

TérminoDescription
Γfunción gamma
v grados de libertad
π Pi (~3.142)

Distribución triangular

La PDF de la distribución triangular tiene una forma triangular.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

TérminoDescription
a cota inferior
b cota superior
c moda (ubicación donde la PDF alcanza su pico)

Distribución uniforme

La distribución uniforme caracteriza los datos en un intervalo de manera uniforme, siendo a el valor más pequeño y b el valor más grande.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

TérminoDescription
a cota inferior
b cota superior

Distribución de Weibull

La distribución de Weibull es útil para modelar tiempos de falla de los productos.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

Notación

TérminoDescription
α parámetro de escala
β parámetro de forma, cuando β = 1, la PDF de Weibull es igual a la PDF exponencial
λ parámetro de valor umbral
Γ función gamma
exp base del logaritmo natural
Nota

Algunas referencias utilizan 1/α como un parámetro.

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