Métodos para Estudio de estabilidad para lotes aleatorios

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El modelo mixto y log-verosimilitud

La forma general del modelo mixto

Los modelos mixtos de los efectos contienen efectos fijos y aleatorios. La forma general del modelo mixto de los efectos es:

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

Notación

TérminoDescription
yel vector n x 1 de valores de respuesta
Xla matriz de diseño n x p para los efectos fijos, pn
Zila matriz de diseño n x mi para el iésimo efecto aleatorio en el modelo
βun vector p x 1 de parámetros desconocidos
μiun vector mi x 1 de variables independientes desde N(0, σ2i)
εun vector n x 1 de variables independientes desde N(0, σ2i)
cel número de efectos aleatorios en el modelo

Formas particulares del modelo mixto

Los estudios de estabilidad se ajustan a dos modelos con un factor de lote aleatorio. El modelo más grande contiene tiempo, el factor de lote aleatorio, y la interacción aleatoria entre tiempo y lote.

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ε

El modelo más pequeño contiene tiempo y el factor de lote aleatorio.

y =+ Z1μ1 + ε

La matriz general de varianzas-covarianzas del vector de respuesta, y, es:

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

donde

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c se denominan componentes de la varianza.

Al factorizar a partir de la varianza, usted puede encontrar una representación de H(θ), que está en el cálculo de la log-verosimilitud de los modelos mixtos.

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

Cuando el lote es un factor aleatorio, las estimaciones de parámetros desconocidos se obtienen al minimizar dos veces el negativo de la función de log-verosimilitud restringida. La minimización es equivalente a maximizar la función de log-verosimilitud restringida. La función que se minimiza es:

Notación

TérminoDescription
nel número de observaciones
pel número de parámetros en β, 2 para los estudios de estabilidad
σ2el componente de la varianza del error
Xla matriz de diseño ––para los términos fijos, la constante y el tiempo
H(θ)In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
Inla matriz de identidad con n filas y columnas
θila relación de la varianza del iésimo término aleatorio a la varianza del error
Zila matriz n x mi de codificaciones conocidas para el iésimo efecto aleatorio en el modelo
miel número de niveles para el iésimo efecto aleatorio
cel número de efectos aleatorios en el modelo
|H(θ)|el determinante de H(θ)
X'la transpuesta de X
H-1(θ)la inversa de H(θ)

Transformación de Box-Cox

La transformación de Box Cox selecciona los valores de lambda, como se muestra a continuación, que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos. La transformación resultante es Y λ cuando λ ≠ 0 y ln(Y) cuando λ = 0. Cuando λ < 0, Minitab también multiplica la respuesta transformada por −1 para mantener el orden de la respuesta no transformada.

Minitab busca un valor óptimo entre −2 y 2. Los valores que estén fuera de este intervalo podrían no producir un mejor ajuste.

Las siguientes son algunas transformaciones comunes donde Y′ es la transformación de los datos Y:

Valor de lambda (λ) Transformación
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0.5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0.5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

Selección del modelo para lotes aleatorios

La selección del modelo determina si la vida útil depende del lote y si el efecto del tiempo depende del lote. Minitab considera los tres modelos siguientes en secuencia:
  1. Tiempo + Lote + Lote*Tiempo (pendientes e intersecciones diferentes para los lotes)
  2. Tiempo + Lote (pendientes iguales e intersecciones diferentes para los lotes)
  3. Tiempo (pendientes e intersecciones iguales para los lotes)

Si la interacción Lote*Tiempo es significativa, el análisis se ajusta al primer modelo. Si la interacción no es significativa, pero el término Lote es significativo en el segundo modelo, el análisis se ajusta el segundo modelo. De lo contrario, el análisis se ajusta al tercer modelo.

La prueba para determinar si se deben agrupar los lotes es ligeramente diferente de la prueba para incluir un lote, aunque ambas dependen de la distribución de chi-cuadrada. Las fórmulas para los estadísticos de prueba y los valores p son las siguientes.

Prueba entre el modelo 1 y el modelo 2

diferencia = −2L2 − (−2L1)

p = 0.5 * Prob(χ21 > diferencia) + 0.5 * Prob(χ22 > diferencia)

Prueba entre el modelo 2 y el modelo 3

diferencia = −2L3 − (−2L2)

p = 0.5 * Prob(χ21 > diferencia)

Notación

TérminoDescription
Lala log-verosimilitud para el modelo a
pel valor p para la prueba
Prob(χ21> diferencia)la probabilidad de que una variable aleatoria de una distribución de chi-cuadrada con 1 grado de libertad es mayor que la diferencia
Prob(χ22> diferencia)la probabilidad de que una variable aleatoria de una distribución de chi-cuadrada con 2 grados de libertad es mayor que la diferencia

Referencias

  1. Searle, S.R. Casella, G. y McCuloch, C.E. (1992). Variance Components
  2. West, B.T., Welch, K.B. y Galecki, A.T. (2007). Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software.
  3. Chow, S. (2007). Statistical Design and Analysis of Stability Studies.
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