¿Qué es ortogonalidad?

Dos vectores son ortogonales si la suma de los productos de sus elementos correspondientes es 0. Por ejemplo, consideremos los siguientes vectores a y b:

Usted puede multiplicar los elementos correspondientes de los vectores para mostrar el siguiente resultado:

a*b = 2(–4) + 3(1) + 5(1) + 0(4) = –8 + 3 + 5 + 0 = 0

Esto indica que los dos vectores son ortogonales.

El concepto de ortogonalidad es importante en el diseño de experimentos, porque dice algo acerca de la independencia. Por lo general, el análisis experimental de un diseño ortogonal es sencillo, porque se puede estimar cada efecto principal e interacción de forma independiente. Si el diseño no es ortogonal, bien sea porque así se planeó o debido a la pérdida accidental de datos, la interpretación podría no ser tan sencilla.

La importancia de esto se muestra con el siguiente ejemplo. Consideremos un diseño factorial completo 23 con ocho corridas.
A B C
1 –1 –1
1 –1 1
–1 –1 1
–1 1 –1
–1 1 1
–1 –1 –1
1 1 1
1 1 –1
Para mostrar que cada columna (vector) es ortogonal con respecto a las otras columnas, multiplique A*B, A*C y B*C.
  • A*B = 1(–1) +1(–1) – 1(–1) – 1(1) – 1(1) – 1(–1) + 1(1) + 1(1) = –4 + 4 = 0
  • A*C = 1(–1) +1(1) – 1(1) – 1(–1) – 1(1) – 1(–1) + 1(1) + 1(–1) = –4 + 4 = 0
  • B*C = –1(–1) – 1(1) – 1(1) + 1(–1) + 1(1) – 1(–1) + 1(1) + 1(–1) = –4 + 4 = 0

Entonces, en cierto sentido, el factor A se estima de forma independiente de B y C y viceversa.

Las estimaciones de los efectos y los coeficientes no cambiarán cuando usted elimine las interacciones del modelo. El resto de la salida cambiará a medida que el error experimental (MSE) se ajuste según corresponda con más grados de libertad.

En conclusión, un experimento diseñado es ortogonal si los efectos de cualquier factor se equilibran (suman cero) con los efectos de los otros factores. La ortogonalidad garantiza que el efecto de un factor o interacción pueda estimarse de manera independiente del efecto de cualquier otro factor o interacción presente en el modelo.

Determinar si un diseño es ortogonal

Para determinar si el diseño es ortogonal, haga lo siguiente:
Nota

Cuando analice diseños factoriales, si el diseño se muestra en unidades no codificadas en la hoja de trabajo, primero elija Estadísticas > DOE > Mostrar diseño, seleccione Unidades codificadas y haga clic en Aceptar.

  1. Elija Estadísticas > ANOVA > Modelo lineal general o Estadísticas > DOE > Factorial > Analizar diseño factorial y complete el cuadro de diálogo de la manera habitual.
    Nota

    También puede hacer esto para diseños de superficie de respuesta, de Taguchi y de mezcla. Para almacenar una matriz de diseño en Taguchi, debe estar ajustando un modelo lineal.

  2. Haga clic en Almacenamiento.
  3. Seleccione Matriz de diseño. Haga clic en Aceptar en cada cuadro de diálogo.
  4. Sume los grados de libertad para todos los términos incluidos en el modelo, excepto Error. Los grados de libertad se encuentran en la columna GL de la tabla ANOVA en la salida de la ventana Sesión.
  5. Elija Datos > Copiar > Matriz a columnas.
  6. En Copiar desde matriz, ingrese XMAT1.
  7. En Almacenar datos copiados, en En hoja de trabajo actual, en columnas:, ingrese un rango de columnas vacías lo suficientemente grande como para que incluya una columna para cada grado de libertad del modelo más una para la intersección. (Por ejemplo, si usted tiene 7 grados de libertad en el modelo, necesitará 8 columnas en total y podría ingresar de C11 a C18.) Haga clic en Aceptar.
  8. Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > Correlación.
  9. En Variables, ingrese el rango de columnas del paso 7.
  10. Desmarque Presentar los valores de p. Haga clic en Aceptar.
  11. En la matriz que se muestra en la ventana Sesión, busque los términos que no sean cero. Un valor positivo o negativo indica que las dos columnas y sus términos asociados no son ortogonales.
    Nota

    Cuando analice un diseño factorial, la matriz de diseño almacenará los términos en unidades no codificadas si la hoja de trabajo está en unidades no codificadas. Estadísticas > DOE > Factorial > Analizar diseño factorial realizará el análisis en unidades codificadas. Cuando analice un diseño de superficie de respuesta, la matriz de diseño almacenará los términos en unidades codificadas o no codificadas dependiendo de las unidades en las que usted elija analizar los datos.

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