Métodos para Ajustar modelo de efectos mixtos

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El modelo de efectos mixtos y la log-verosimilitud

La forma general del modelo de efectos mixtos

Los modelos de efectos mixtos contienen efectos fijos y aleatorios. La forma general del modelo de efectos de efectos mixtos es:

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

Notación

TérminoDescription
yel vector n x 1 de valores de respuesta
Xla matriz de diseño n x p para los términos de efectos fijos, pn
βun vector p x 1 de parámetros desconocidos
la matriz de diseño n x mi para el término aleatorio incluido en el modelo
μiun vector mi x 1 de variables independientes desde N(0, )
εun vector n x 1 de variables independientes desde N(0, )
nel número de observaciones
pel número de parámetros en
cel número de términos aleatorios incluidos en el modelo

Matriz de varianzas-covarianzas

De acuerdo con el supuesto del modelo para la forma general del modelo de efectos mixtos, el vector de respuestas, y, tiene una distribución normal multivariada con el vector de medias y la siguiente matriz de varianzas-covarianzas:

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

donde

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c se denominan componentes de la varianza.

Al factorizar a partir de la varianza, usted puede encontrar una representación de H(θ), que está en el cálculo de la log-verosimilitud de los modelos de efectos mixtos.

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

Notación

TérminoDescription
θi, la relación de la varianza del término aleatorio sobre la varianza del error

Log-verosimilitud

Cuando el modelo contiene un factor aleatorio, por opción predeterminada, las estimaciones de parámetros desconocidos se obtienen al minimizar dos veces el negativo de la función de log-verosimilitud restringida. La minimización es equivalente a maximizar la función de log-verosimilitud restringida. Minitab utiliza un algoritmo iterativo para minimizar la función de log-verosimilitud restringida. La función que se minimiza es:

Notación

TérminoDescription
HIn + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|el determinante de H
H-1la inversa de H
miel número de niveles para el término aleatorio
el componente de la varianza del error
Inla matriz de identidad con n filas y columnas

Estimación de máxima verosimilitud restringida (REML)

Por opción predeterminada, Minitab calcula estimaciones de los parámetros que maximizan la función de verosimilitud restringida, lo que equivale a minimizar la siguiente función:
Para minimizar la función, Minitab diferencia la función con respecto a β, σ2 y θi y establece las diferencias en 0:

donde

El reordenamiento algebraico de las dos primeras ecuaciones para resolver los parámetros estimados con respecto a la diferenciación da las siguientes ecuaciones:
La derivada con respecto a no se puede resolver explícitamente para los . Minitab utiliza el método de Newton para estimar con los siguientes pasos:
  1. Usar las estimaciones insesgadas de mínimos cuadrados bajo normalidad (MINQUE)12 de los componentes de la varianza para construir los valores iniciales de σ2 y θi.
  2. Estimar β y σ2 con las ecuaciones para y .
  3. Hallar θi con el método de Newton para minimizar L(β, σ2, θ).
  4. Repetir los pasos 2 y 3 hasta la convergencia.
Las soluciones de convergencia para son las estimaciones de las relaciones de la varianza. El componente de la varianza para el término aleatorio es el siguiente:

Notación

TérminoDescription
tr(·)la traza de la matriz
X'la transpuesta de X
1 Rao, C.R. (1971 a). Estimation of variance covariance components - MINQUE theory. Journal of Multivariate Analysis 1, 257–275.
2 Rao, C.R. (1971 b). Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components. Journal of Multivariate Analysis 1, 445–456.
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