Métodos y fórmulas para factores aleatorios y modelos mixtos enAjustar modelo lineal general

Seleccione el método o la fórmula de su preferencia.

Componentes de la varianza

Minitab calcula los componentes de varianza solamente para los factores aleatorios. Se usa un modelo con dos factores aleatorios para presentar las fórmulas.

donde, αi, βj , (αβ)ij, y εijk son variables aleatorias independientes. Las variables normalmente están distribuidas con cero media y varianzas dadas por estas fórmulas:

Estas varianzas son los componentes de varianza. En este caso, se prueba la hipótesis de que los componentes de varianza son iguales a cero.

Para un modelo mixto no restringido con un factor fijo, A, y un factor aleatorio, B, esta fórmula describe el modelo:

donde αi son efectos fijos y βj, (αβ)ij y εijk son variables aleatorias no relacionadas que tienen medias de cero y estas varianzas:

Estas varianzas son los componentes de varianza. La Σα i = 0 y Σ(αβ)ij = 0 para cada j.

Esta información es para modelos balanceados. Para información sobre modelos más complejos o no balanceados, véase Montgomery1 y Neter2.

  1. D.C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition. John Wiley & Sons.
  2. J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Cuadrados medios esperados

Las fórmulas de los cuadrados medios esperados para un modelo de efectos aleatorios con dos factores, A y B son:

Las fórmulas de los cuadrados medios esperados para un modelo mixto sin restricciones con un factor fijo, A, y un factor aleatorio, B, son:

Para las reglas sobre como calcular los cuadrados medios esperados y para información sobre modelos más complejos o no balanceados, véase Montgomery1 y Neter2.

  1. D.C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition. John Wiley & Sons.
  2. J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Notación

TérminoDescription
bnúmero de niveles en el factor B
anúmero de niveles en el factor A
nnúmero de observaciones
σ2varianza estimada del modelo
varianza estimada de A
varianza estimada de B
varianza estimada de AB
efectos fijos de A

Estadístico F para modelos con factores aleatorios

Cómo se calculan los estadísticos F en la salida de ANOVA

Cada estadístico F es una relación de cuadrados medios. El numerador es el cuadrado medio del término. El denominador se escoge de manera que el valor esperado del cuadrado medio del numerador difiera del valor esperado del cuadrado medio del denominador solo por el efecto de interés. El efecto de un término aleatorio está representado por el componente de la varianza del término. El efecto de un término fijo está representado por la suma de los cuadrados de los componentes del modelo asociados con ese término dividida entre sus grados de libertad. Por lo tanto, un estadístico F alto indica un efecto significativo.

Cuando todos los términos del modelo son fijos, el denominador para cada estadístico F es el cuadrado medio del error (MSE). Sin embargo, para los modelos que incluyen términos aleatorios, el MSE no siempre es el cuadrado medio correcto. Los cuadrados medios esperados (EMS) pueden utilizarse para determinar qué es lo apropiado para el denominador.

Ejemplo

Supongamos que usted realizó un ANOVA con el factor fijo Pantalla y el factor aleatorio Tecno y obtiene la siguiente salida para el EMS:
Fuente Cuadrado medio esperado para cada término
(1) Pantalla (4) + 2.00(3) + Q[1]
(2) Tecno (4) + 2.00(3) + 4.00(2)
(3) Pantalla*Tecno (4) + 2.00(3)
(4) Error (4)

Un número entre paréntesis indica un efecto aleatorio asociado con el término que aparece al lado del número de la fuente. (2) representa el efecto aleatorio de Tecno, (3) representa el efecto aleatorio de la interacción Pantalla*Tecno y (4) representa el efecto aleatorio del Error. El EMS para Error es el efecto del término de error. Además, el EMS para Pantalla*Tecno es el efecto del término de error más dos veces el efecto de la interacción Pantalla*Tecno.

Para calcular el estadístico F de Pantalla*Tecno, el cuadrado medio de Pantalla*Tecno se divide entre el cuadrado medio del error de modo que el valor esperado del numerador (EMS para Pantalla*Tecno = (4) + 2.00(3)) difiera del valor esperado del denominador (EMS para Error = (4)) solo por el efecto de la interacción (2.00(3)). Por lo tanto, un estadístico F alto indica una interacción Pantalla*Tecno significativa.

Un número con Q[ ] indica el efecto fijo asociado con el término que aparece al lado del número de la fuente. Por ejemplo, Q[1] es el efecto fijo de Pantalla. El EMS para Pantalla es el efecto del término de error más dos veces el efecto de la interacción Pantalla*Tecno más una constante multiplicada por el efecto de Pantalla. Q[1] es igual a (b*n * suma((coeficientes de los niveles de Pantalla)**2)) dividido entre (a - 1), donde a y b son el número de niveles de Pantalla y Tecno, respectivamente, y n es el número de réplicas.

Para calcular el estadístico F para Pantalla, el cuadrado medio de Pantalla se divide entre el cuadrado medio de Pantalla*Tecno de modo que el valor esperado del numerador (EMS para Pantalla = (4) + 2.00(3) + Q[1]) difiera del valor esperado del denominador (EMS para Pantalla*Tecno = (4) + 2.00(3) ) solo por el efecto debido a la Pantalla (Q[1]). Por lo tanto, un estadístico F alto indica un efecto significativo de Pantalla.

¿Por qué incluye la salida de mi ANOVA una "x" al lado del valor p en la tabla ANOVA y la etiqueta "No es una prueba F exacta"?

Una prueba F exacta para un término es aquella en la que el valor esperado de los cuadrados medios del numerador difiere del valor esperado de los cuadrados medios del denominador solo por el componente de la varianza o el factor fijo de interés.

Sin embargo, a veces no es posible calcular ese cuadrado medio. En ese caso, Minitab utiliza un cuadrado medio que da como resultado una prueba F aproximada y muestra una "x" al lado el valor p para indicar que la prueba F no es exacta.

Por ejemplo, supongamos que usted realizó un ANOVA con el factor fijo Suplemento y el factor aleatorio Lago y obtuvo la siguiente salida para los cuadrados medios esperados (EMS):
Fuente Cuadrado medio esperado para cada término
(1) Suplemento (4) + 1.7500(3) + Q[1]
(2) Lago (4) + 1.7143(3) + 5.1429(2)
(3) Suplemento*Lago (4) + 1.7500(3)
(4) Error (4)

El estadístico F para Suplemento es el cuadrado medio de Suplemento dividido entre el cuadrado medio de la interacción Suplemento*Lago. Si el efecto para Suplemento es muy pequeño, el valor esperado del numerador es igual al valor esperado del denominador. Este es un ejemplo de una prueba F exacta.

Sin embargo, observe que para un efecto muy pequeño de Lago no hay cuadrados medios tales que el valor esperado del numerador sea igual al valor esperado del denominador. Por lo tanto, Minitab utiliza una prueba F aproximada. En este ejemplo, el cuadrado medio de Lago se divide entre el cuadrado medio de la interacción Suplemento*Lago. Esto da como resultado un valor esperado del numerador que es aproximadamente igual al del denominador si el efecto de Lago es muy pequeño.

Acerca del mensaje "El denominador de la prueba F es cero o no está definido"

Minitab mostrará un mensaje de error indicando que el denominador de la prueba F es cero o no está definido, por una de las siguientes razones:
  • No hay al menos un grado de libertad para el error.
  • Los valores ajustados de CM son muy pequeños y por lo tanto no hay suficiente precisión para mostrar los valores p y F. Como una solución, multiplique la columna de respuesta por 10. Entonces ejecute el mismo modelo de regresión, pero en cambio utilice esta nueva columna de respuesta para la respuesta.

    Nota

    Multiplicar los valores de respuesta por 10 no afectará los valores F y p que Minitab muestra en la salida. Sin embargo, la posición decimal se verá afectada en la salida restante, específicamente, las sumas secuenciales de los cuadrados, SC Ajust., CM Ajust., Ajuste, error estándar de los ajustes y las columnas de residuos.

Cómo se calculan los estadísticos F en la salida de ANOVA

Cada estadístico F es una relación de cuadrados medios. El numerador es el cuadrado medio del término. El denominador se escoge de manera que el valor esperado del cuadrado medio del numerador difiera del valor esperado del cuadrado medio del denominador solo por el efecto de interés. El efecto de un término aleatorio está representado por el componente de la varianza del término. El efecto de un término fijo está representado por la suma de los cuadrados de los componentes del modelo asociados con ese término dividida entre sus grados de libertad. Por lo tanto, un estadístico F alto indica un efecto significativo.

Cuando todos los términos del modelo son fijos, el denominador para cada estadístico F es el cuadrado medio del error (MSE). Sin embargo, para los modelos que incluyen términos aleatorios, el MSE no siempre es el cuadrado medio correcto. Los cuadrados medios esperados (EMS) pueden utilizarse para determinar qué es lo apropiado para el denominador.

Ejemplo

Supongamos que usted realizó un ANOVA con el factor fijo Pantalla y el factor aleatorio Tecno y obtiene la siguiente salida para el EMS:
Fuente Cuadrado medio esperado para cada término
(1) Pantalla (4) + 2.00(3) + Q[1]
(2) Tecno (4) + 2.00(3) + 4.00(2)
(3) Pantalla*Tecno (4) + 2.00(3)
(4) Error (4)

Un número entre paréntesis indica un efecto aleatorio asociado con el término que aparece al lado del número de la fuente. (2) representa el efecto aleatorio de Tecno, (3) representa el efecto aleatorio de la interacción Pantalla*Tecno y (4) representa el efecto aleatorio del Error. El EMS para Error es el efecto del término de error. Además, el EMS para Pantalla*Tecno es el efecto del término de error más dos veces el efecto de la interacción Pantalla*Tecno.

Para calcular el estadístico F de Pantalla*Tecno, el cuadrado medio de Pantalla*Tecno se divide entre el cuadrado medio del error de modo que el valor esperado del numerador (EMS para Pantalla*Tecno = (4) + 2.00(3)) difiera del valor esperado del denominador (EMS para Error = (4)) solo por el efecto de la interacción (2.00(3)). Por lo tanto, un estadístico F alto indica una interacción Pantalla*Tecno significativa.

Un número con Q[ ] indica el efecto fijo asociado con el término que aparece al lado del número de la fuente. Por ejemplo, Q[1] es el efecto fijo de Pantalla. El EMS para Pantalla es el efecto del término de error más dos veces el efecto de la interacción Pantalla*Tecno más una constante multiplicada por el efecto de Pantalla. Q[1] es igual a (b*n * suma((coeficientes de los niveles de Pantalla)**2)) dividido entre (a - 1), donde a y b son el número de niveles de Pantalla y Tecno, respectivamente, y n es el número de réplicas.

Para calcular el estadístico F para Pantalla, el cuadrado medio de Pantalla se divide entre el cuadrado medio de Pantalla*Tecno de modo que el valor esperado del numerador (EMS para Pantalla = (4) + 2.00(3) + Q[1]) difiera del valor esperado del denominador (EMS para Pantalla*Tecno = (4) + 2.00(3) ) solo por el efecto debido a la Pantalla (Q[1]). Por lo tanto, un estadístico F alto indica un efecto significativo de Pantalla.

¿Por qué incluye la salida de mi ANOVA una "x" al lado del valor p en la tabla ANOVA y la etiqueta "No es una prueba F exacta"?

Una prueba F exacta para un término es aquella en la que el valor esperado de los cuadrados medios del numerador difiere del valor esperado de los cuadrados medios del denominador solo por el componente de la varianza o el factor fijo de interés.

Sin embargo, a veces no es posible calcular ese cuadrado medio. En ese caso, Minitab utiliza un cuadrado medio que da como resultado una prueba F aproximada y muestra una "x" al lado el valor p para indicar que la prueba F no es exacta.

Por ejemplo, supongamos que usted realizó un ANOVA con el factor fijo Suplemento y el factor aleatorio Lago y obtuvo la siguiente salida para los cuadrados medios esperados (EMS):
Fuente Cuadrado medio esperado para cada término
(1) Suplemento (4) + 1.7500(3) + Q[1]
(2) Lago (4) + 1.7143(3) + 5.1429(2)
(3) Suplemento*Lago (4) + 1.7500(3)
(4) Error (4)

El estadístico F para Suplemento es el cuadrado medio de Suplemento dividido entre el cuadrado medio de la interacción Suplemento*Lago. Si el efecto para Suplemento es muy pequeño, el valor esperado del numerador es igual al valor esperado del denominador. Este es un ejemplo de una prueba F exacta.

Sin embargo, observe que para un efecto muy pequeño de Lago no hay cuadrados medios tales que el valor esperado del numerador sea igual al valor esperado del denominador. Por lo tanto, Minitab utiliza una prueba F aproximada. En este ejemplo, el cuadrado medio de Lago se divide entre el cuadrado medio de la interacción Suplemento*Lago. Esto da como resultado un valor esperado del numerador que es aproximadamente igual al del denominador si el efecto de Lago es muy pequeño.

Acerca del mensaje "El denominador de la prueba F es cero o no está definido"

Minitab mostrará un mensaje de error indicando que el denominador de la prueba F es cero o no está definido, por una de las siguientes razones:
  • No hay al menos un grado de libertad para el error.
  • Los valores ajustados de CM son muy pequeños y por lo tanto no hay suficiente precisión para mostrar los valores p y F. Como una solución, multiplique la columna de respuesta por 10. Entonces ejecute el mismo modelo de regresión, pero en cambio utilice esta nueva columna de respuesta para la respuesta.

    Nota

    Multiplicar los valores de respuesta por 10 no afectará los valores F y p que Minitab muestra en la salida. Sin embargo, la posición decimal se verá afectada en la salida restante, específicamente, las sumas secuenciales de los cuadrados, SC Ajust., CM Ajust., Ajuste, error estándar de los ajustes y las columnas de residuos.

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