Methoden und Formeln für den Test für 2x2-Tabellen für Kreuztabelle und Chi-Quadrat-Test

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Fishers exakter Test

Fishers exakter Test ist ein Test auf Unabhängigkeit. Der Test beruht auf einer exakten Verteilung und nicht auf der näherungsweisen Chi-Quadrat-Verteilung, die für die Pearson- und Likelihood-Quotienten-Tests verwendet wird. Fishers exakter Test ist hilfreich, wenn die erwarteten Zellenanzahlen gering sind und die Chi-Quadrat-Approximation nicht sehr gut geeignet ist.

Formel

Der p-Wert beruht auf einer hypergeometrischen Verteilung mit den folgenden Parametern:
Größe der Grundgesamtheit
Gesamtzahl der Beobachtungen
Anzahl der Erfolge in der Grundgesamtheit
Anzahl der Beobachtungen in der ersten Zeile
Stichprobenumfang
Anzahl der Beobachtungen in der ersten Spalte
Der p-Wert gilt für eine beidseitige Alternative. Die Berechnung ist die Summe der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeiten für die Werte von 0 bis zur Größe der Grundgesamtheit, die kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit des beobachteten Werts sind.

McNemars exakter Test

Mit dem McNemar-Test werden Anteile verglichen, die vor und nach einer Behandlung beobachtet werden. Sie können mit dem McNemar-Test beispielsweise feststellen, ob sich durch ein Schulungsprogramm der Anteil der Teilnehmer ändert, die eine Frage richtig beantworten.

Beobachtungen für einen McNemar-Test können in einer 2x2-Tabelle wie nachfolgend gezeigt zusammengefasst werden.

  Nach der Behandlung  
Vor der Behandlung Bedingung wahr Bedingung nicht wahr Gesamt
Bedingung wahr n11 n12 n1.
Bedingung nicht wahr n21 n22 n2.
Gesamt n·1 n·2 n··

Die Bedingung für das Schulungsbeispiel ist eine korrekte Antwort. Daher steht n21 für die Anzahl der Teilnehmer, die die Frage nach der Schulung korrekt beantworten, jedoch nicht vor der Schulung. Und n12 steht für die Anzahl der Teilnehmer, die die Frage vor der Schulung korrekt beantworten, jedoch nicht nach der Schulung. n.. steht für die Gesamtzahl der Teilnehmer.

Geschätzte Differenz

Sei δ die Differenz zwischen den Randwahrscheinlichkeiten p1.p.1 in der Grundgesamtheit. Die geschätzte Differenz wird mit der folgenden Formel angegeben:

Konfidenzintervall

Ein ungefähres 100(1 – α)%-Konfidenzintervall wird durch die folgende Formel angegeben:

Hierbei ist α das Signifikanzniveau für den Test, z α/2 der z-Wert, der einer Wahrscheinlichkeit α/2 im Randbereich zugeordnet ist, und SE wird durch die folgende Formel angegeben:

p-Wert

Die Nullhypothese ist δ = 0. Der exakte p-Wert für den Test der Nullhypothese wird wie folgt berechnet:

Dabei ist X eine Zufallsvariable, die einer Binominalverteilung entnommen wird, mit der Ereigniswahrscheinlichkeit 0,5 und der Anzahl von Versuchen = n21 + n12.

Cochran-Mantel-Haenszel-Test

Für den Test wird die Annahme getroffen, dass keine Drei-Faktor-Wechselwirkung vorhanden ist. Zweck des Tests ist es, den Grad der Beziehung zwischen zwei dichotomen Variablen bei gleichzeitiger Berücksichtigung einer Störvariable auszuwerten. Die CMH-Statistik wird mit einem Chi-Quadrat-Perzentil mit einem Freiheitsgrad verglichen.

Der Cochran-Mantel-Haenszel-Test (CMH) kann nur verwendet werden, wenn drei oder mehr Klassifikationsvariablen vorhanden sind und die ersten zwei Variablen jeweils über zwei Stufen verfügen. Alle Variablen, die über die ersten beiden hinausgehen, werden hinsichtlich des CMH-Tests als eine einzelne Variable Z behandelt, wobei jede Kombination aus Stufen als eine Stufe von Z behandelt wird.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
kStufe von Z
n11k Anzahl der Beobachtungen in der ersten Zeile, erste Spalte
n1+k Anzahl der Beobachtungen in der ersten Zeile
n+1k Anzahl der Beobachtungen in der ersten Spalte
n++k Gesamtzahl der Beobachtungen
n2+k Anzahl der Beobachtungen in der zweiten Zeile
n+2k Anzahl der Beobachtungen in der zweiten Spalte
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