Methoden und Formeln für Wilcoxon-Test, 1 Stichprobe

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Paarweise Mittelwerte

Paarweise Mittelwerte (die auch als Walsh-Mittelwerte bezeichnet werden) sind die Mittelwerte für jedes mögliche Paar von Werten im Datensatz, einschließlich des Paars aus jedem Wert mit sich selbst.

Formel

= alle paarweisen Mittelwerte für i ≤ j.

= Gesamtzahl der paarweisen Mittelwerte

Notation

BegriffBeschreibung
Yii-ter Wert im Datensatz
Yjj-ter Wert im Datensatz
nStichprobenumfang

Geschätzter Median

Seien W( 1 ) < W( 2 ) < ... < W( M ) die geordneten Werte von paarweisen Mittelwerten (auch als Walsh-Mittelwerte bezeichnet), wobei M = n(n+1)/2. Bei ungeradem M ist der geschätzte Median der mittlere Wert. Bei geradem M ist der geschätzte Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte. Minitab berechnet die Punktschätzung des Medians der Grundgesamtheit mit einem Algorithmus nach Johnson und Mizoguchi (1978)1.
  1. D. B. Johnson und T. Mizoguchi (1978). „Selecting the Kth Element in X + Y and X1 + X2 + ... + Xm“, SIAM Journal of Computing 7, S. 147-153.

Wilcoxon-Statistik

Die Wilcoxon-Statistik entspricht der Anzahl der paarweisen Mittelwerte (auch als Walsh-Mittelwerte bezeichnet), die größer als der Hypothesen-Median sind, plus der halben Anzahl der paarweisen Mittelwerte, die gleich dem Hypothesen-Median sind. Die Wilcoxon-Statistik wird mit W angegeben. Minitab berechnet die Teststatistik mit einem Algorithmus nach Johnson und Mizoguchi (1978)1.

  1. D. B. Johnson und T. Mizoguchi (1978). „Selecting the Kth Element in X + Y and X1 + X2 + ... + Xm“, SIAM Journal of Computing 7, S. 147-153.

p-Wert

Die Wilcoxon-Teststatistik W ist die Summe der Ränge der Beobachtungen, die den Hypothesen-Median überschreiten. Minitab berechnet die Teststatistik anhand von paarweisen Mittelwerten (Walsh-Mittelwerten), die in Johnson und Mizoguchi1 beschrieben werden:

  1. Die Anzahl der Beobachtungen N wird für jede Beobachtung, die gleich dem Hypothesen-Median ist, um 1 verringert. Der resultierende Stichprobenumfang ist n.
  2. Die Beobachtungen, die gleich dem Hypothesen-Median sind, werden ausgeschlossen. Es werden n(n + 1) / 2 paarweise Walsh-Mittelwerte (Yi + Yj) / 2 für i ≤ j der Beobachtungen berechnet.

Bei großen Stichprobenumfängen entspricht die Verteilung von W annähernd einer Normalverteilung. Insbesondere heißt dies:

folgt annähernd einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1, N(0;1).

Für den p-Wert der Normal-Approximation für die drei Alternativhypothesen wird eine Kontinuitätskorrektur von 0,5 angewendet.
Alternativhypothese p-Wert
H1: Median > Hypothesen-Median
H1: Median < Hypothesen-Median
H1: Median ≠ Hypothesen-Median

Notation

BegriffBeschreibung
nbeobachtete Anzahl der Datenpunkte, nachdem die Beobachtungen, die gleich dem Wert des Hypothesen-Medians sind, ausgeschlossen wurden
WWilcoxon-Teststatistik
wAnzahl der Walsh-Mittelwerte, die den Hypothesen-Median überschreiten, plus der halben Anzahl der Walsh-Mittelwerte, die gleich dem Hypothesen-Median sind
k
  1. D. B. Johnson und T. Mizoguchi (1978). „Selecting the Kth Element in X + Y and X1 + X2 + ... + Xm“, SIAM Journal of Computing 7, S. 147-153.

Konfidenzintervall

Das Konfidenzintervall ist die Gruppe von Werten (d), für die der Test von H0: Median = d nicht zugunsten von H1: Median ≠ d zurückgewiesen wird, wobei das Konfidenzniveau (α = 1 - (Prozentsatz der Konfidenz) / 100) verwendet wird. Beim Wilcoxon-Test bei einer Stichprobe wird nicht immer das angegebene Konfidenzniveau erreicht, da die Teststatistik des Wilcoxon-Tests diskret ist. Daher verwendet Minitab eine Normal-Approximation mit einer Kontinuitätskorrektur, um das nächste erreichbare Konfidenzniveau zu berechnen.

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