Methoden und Formeln für Test auf Normalverteilung

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Mittelwert

Ein häufig verwendetes Maß für das Zentrum einer Gruppe von Zahlen. Der Mittelwert wird auch als Durchschnitt bezeichnet. Es handelt sich um die Summe aller Beobachtungen dividiert durch die Anzahl der (nicht fehlenden) Beobachtungen.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
xii-te Beobachtung
NAnzahl der nicht fehlenden Beobachtungen

Standardabweichung (StdAbw)

Die Standardabweichung der Stichprobe bietet ein Maß für die Streubreite der Daten. Sie entspricht der Quadratwurzel der Varianz der Stichprobe.

Formel

Wenn die Spalte x 1, x 2, ..., x N enthält, mit dem Mittelwert , dann ist die Standardabweichung der Stichprobe:

Notation

BegriffBeschreibung
x i i-te Beobachtung
Mittelwert der Beobachtungen
N Anzahl der nicht fehlenden Beobachtungen

N

Minitab zeigt die Anzahl der nicht fehlenden Beobachtungen in einer Stichprobe an.

Anderson-Darling-Statistik (A2)

A2 misst die Fläche zwischen der Anpassungslinie (die auf der ausgewählten Verteilung basiert) und der verteilungsfreien Treppenfunktion (die auf den Diagrammpunkten basiert). Die Statistik ist eine quadrierte Distanz, die in den Randbereichen der Verteilung stärker gewichtet ist. Ein kleiner Anderson-Darling-Wert gibt an, dass die Verteilung besser auf die Daten passt.

Der Test auf Normalverteilung nach Anderson-Darling ist wie folgt definiert:

H0: Die Daten folgen einer Normalverteilung

H1: Die Daten folgen keiner Normalverteilung

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
F(Yi), wobei es sich um die inverse kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung handelt
Yigeordnete Daten

Ryan-Joiner

Der Ryan-Joiner-Test liefert einen Korrelationskoeffizienten, der die Korrelation zwischen den Daten und den normalverteilten Werten der Daten angibt. Wenn der Korrelationskoeffizient nahe 1 liegt, liegen die Daten nahe am Wahrscheinlichkeitsnetz für Normalverteilung. Wenn er kleiner als der passende kritische Wert ist, verwerfen Sie die Nullhypothese, dass eine Normalverteilung vorliegt.

Formel

Der Korrelationskoeffizient wird wie folgt berechnet:

Notation

BegriffBeschreibung
Yi geordnete Beobachtungen
bi normalverteilte Werte der geordneten Daten
s2 Stichprobenvarianz

Kolmogorov-Smirnov

Formel

Der Kolmogorov-Smirnov-Test ist definiert als:
  • H0: Die Daten folgen einer Normalverteilung
  • H1: Die Daten folgen keiner Normalverteilung
Die Kolmogorov-Smirnov-Teststatistik ist definiert als:

Notation

BegriffBeschreibung
D+ Maxi {i / nZ (i)}
D Maxi {Z (i) – (i – 1) / n)}
Z F(X(i))
F(x)Wahrscheinlichkeitsfunktion der Normalverteilung
X(i) Statistik für i-te Stelle einer Zufallsstichprobe, 1 ≤ i ≤ n
n Stichprobenumfang

p-Wert

Der p-Wert ist ein weiteres quantitatives Maß, mit dem das Ergebnis des Tests auf Normalverteilung angegeben wird. Ein kleiner p-Wert gibt an, dass die Nullhypothese falsch ist.

Wenn Sie A2 kennen, können Sie den p-Wert berechnen. Sei:
Je nach A'2 berechnen Sie p mit den folgenden Gleichungen:
  • Wenn 13 > A'2 > 0,600, dann p = exp(1,2937 – 5,709 * A'2 + 0,0186(A'2)2)
  • Wenn 0,600 > A'2 > 0,340, dann p = exp(0,9177 – 4,279 * A'2 – 1,38(A'2)2)
  • Wenn 0,340 > A'2 > 0,200, dann p = 1 – exp(–8,318 + 42,796 * A'2 – 59,938(A'2)2)
  • Wenn A'2 <0,200, dann p = 1 – exp(–13,436 + 101,14 * A'2 – 223,73(A'2)2)

Diagrammpunkte

Je näher die Punkte an der Anpassungslinie liegen, desto besser ist im Allgemeinen die Anpassung. Minitab bietet zwei Maße für die Güte der Anpassung, mit denen die Anpassung der Verteilung an die Daten beurteilt werden kann.

Formel

Die folgende Tabelle zeigt den Aufbau der mittleren Linie:
Verteilung x-Koordinate y-Koordinate
Normal x Φ–1 norm

Notation

BegriffBeschreibung
Φ–1 norm der für p von der inversen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zurückgegebene Wert

Wahrscheinlichkeitsnetze

Die Eingabedaten werden als x-Werte dargestellt. Minitab berechnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, ohne eine Verteilung anzunehmen. Die y-Skala in der Grafik ähnelt der y-Skala auf Wahrscheinlichkeitspapier für Normalverteilung, bei der die Wahrscheinlichkeiten als gerade Linie dargestellt werden, als würden die Daten aus einer Normalverteilung stammen.

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