Methoden und Formeln für Test auf Poisson-Verteilung

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Geschätzter Mittelwert

Formel

Der Mittelwert für die Poisson-Verteilung wird geschätzt als:

Berechnung

Daten
2  2  3  3  2  4  4  2  1  1  1  4  4  3  0  4  3  2 
3  3  4  1  3  1  4  3  2  2  1  2  0  2  3  2  3
Kategorie (i) Beobachtet (Oi) Geschätzter Mittelwert Poisson-Wahrscheinlichkeit (pi)
0 2 0 * 2 = 0 p0 = e-2,4 = 0,090718
1 6 1 * 6 = 6 p1 = e-2,4 * 2,4 = 0,217723
2 10 2 * 10 = 20 p2 = e-2,4 * (2,4)2/ 2! = 0,261268
3 10 3 * 10 = 30 p3 = e-2,4 * (2,4)3/ 3! = 0,209014
7 4 * 7 = 28 p4 = 1 - (p0 + p1 +p2 + p3) = 0,221267

N = 35

Σ (i * Oi) = 84

Geschätzter Mittelwert =

Notation

BegriffBeschreibung
N Summe aller beobachteten Werte (O0 + O1 + ... + Ok)
k(Anzahl der Kategorien) - 1
Oibeobachtete Anzahl von Ereignissen in der i-ten Kategorie
piPoisson-Wahrscheinlichkeit

Anzahl der Kategorien

Minitab bestimmt Kategorien mit Hilfe der folgenden iterativen Methoden:

Definieren der ersten Kategorie

Sei pi = P(X xi )

Sei i = 1: Wenn N*pi 2, dann wird die erste Kategorie definiert als " x 1". Wenn N*pi < 2, dann wird i um eins hochgezählt und Folgendes wiederholt: Wenn N*p 2 2, dann wird die erste Kategorie definiert als " x 2". Wenn N*pi < 2, dann wird i um eins hochgezählt; dieser Vorgang wird wiederholt, bis N*pi 2. Die Iterationen werden beendet, wenn diese Bedingung erstmalig erfüllt wird oder wenn xi der drittgrößte Datenwert ist, und die erste Kategorie wird definiert als " xi ". Wenn der Wert der ersten Kategorie null ist, wird die erste Kategorie als „0“ ohne das „kleiner oder gleich“-Symbol definiert. Die Wahrscheinlichkeit und der erwartete Wert für die erste Kategorie lauten pi und N*pi . Der beobachtete Wert für die erste Kategorie ist die Anzahl aller Datenwerte xi .

Definieren der letzten Kategorie

Konzeptionell ähnelt die Definition der letzten Kategorie der Definition der ersten Kategorie, aber Minitab beginnt mit dem größten Datenwert und arbeitet rückwärts.

Die letzte Kategorie ist " xj ", wobei xj der größte Datenwert größer als (1 + Datenwert der ersten Kategorie) ist, so dass die Kategorie einen erwarteten Wert größer als 2 aufweist. Die Wahrscheinlichkeit und der erwartete Wert für die letzte Kategorie lauten pj und N*pj , und der beobachtete Wert ist die Anzahl der Datenwerte xj .

Definieren der mittleren Kategorien

Nach Bestimmung der ersten und letzten Kategorie legt Minitab die Kategorien dazwischen fest. Sei "X k" die erste Kategorie und "X m" die letzte Kategorie. Wenn alle ganze Zahlen zwischen (k, m) erwartete Werte 2 aufweisen, dann bilden sie alle eine mittlere Kategorie. Andernfalls verwendet Minitab eine rekursive Schleife zur Gruppierung mehrerer benachbarter ganzer Zahlen in Kategorien mit erwarteten Werten 2. In manchen Situationen, z. B. bei einem Datensatz mit wenigen Beobachtungen, ist der erwartete Wert einer Kategorie kleiner als 2.

Notation

BegriffBeschreibung
N Gesamtzahl der Beobachtungen
xi i-ter Wert im Datensatz nach der Sortierung vom kleinsten zum größten
pi Poisson-Wahrscheinlichkeit

Poisson-Wahrscheinlichkeit

Formel

Die Poisson-Wahrscheinlichkeit der i-ten Kategorie (i < k) ist

Die Poisson-Wahrscheinlichkeit der letzten Kategorie, wobei i = k, ist

pi = 1 – (p0 + p1 + ...+ pk-1)

Notation

BegriffBeschreibung
k Anzahl der Kategorien
λ geschätzter Mittelwert der Stichprobe

Erwartete Anzahl

Formel

Die erwartete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie beträgt N * pi .

Notation

BegriffBeschreibung
N Stichprobenumfang
pi Poisson-Wahrscheinlichkeit, die der i-ten Kategorie zugeordnet ist

Beitrag zu Chi-Quadrat

Formel

Der Beitrag der I-ten Kategorie zum Chi-Quadrat-Wert wird wie folgt berechnet:

Notation

BegriffBeschreibung
OI beobachtete Anzahl von Beobachtungen in der I-ten Kategorie
EI erwartete Anzahl von Beobachtungen in der I-ten Kategorie

Teststatistik

Formel

Die Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests wird wie folgt berechnet:

Notation

BegriffBeschreibung
k (Anzahl der Kategorien) - 1
Oi beobachtete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie
Ei erwartete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie

p-Wert und Freiheitsgrade

Der p-Wert ist:

Wahrsch (X > Teststatistik)

wobei X einer Chi-Quadrat-Verteilung mit k - 1 Freiheitsgraden folgt, wenn Sie den Unterbefehl MEAN verwenden, oder k- 2 Freiheitsgraden, wenn Sie den Unterbefehl MEAN nicht verwenden.

Berechnung

Daten
2  2  3  3  2  4  4  2  1  1  1  4  4  3  0  4  3  2 
3  3  4  1  3  1  4  3  2  2  1  2  0  2  3  2  3
Kategorie (i) Beobachtet (Oi) Geschätzter Mittelwert Poisson-Wahrscheinlichkeit (pi)
0 2 0 * 2 = 0 p0 = e -2,4 = 0,090718
1 6 1 * 6 = 6 p1 = e -2,4 * 2,4 = 0,217723
2 10 2 * 10 = 20 p2 = e -2,4 * (2,4)2/ 2! = 0,261268
3 10 3 * 10 = 30 p3 = e -2,4 * (2,4)3/ 3! = 0,209014
7 4 * 7 = 28 p4 = 1 - (p0 + p1 +p2 + p3 ) = 0,221267

= ( 0,43492 + 0,344527 + 0,080058 + 0,985114 + 0,071545) = 1,91622

k = 5= Anzahl der Kategorien

DF = 5 - 2 = 3

p-Wert = P (X > 1,91622) = 0,590

Notation

BegriffBeschreibung
k Anzahl der Kategorien
Oi beobachtete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie
Ei erwartete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie
Statistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests
DFFreiheitsgrade
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