Interpretieren aller Statistiken und Grafiken für Test auf Poisson-Verteilung

Hier finden Sie Definitionen und Anleitungen zur Interpretation für alle Statistiken und Grafiken, die für einen Test auf Poisson-Verteilung bereitgestellt werden.

Mittelwert

Der Poisson-Mittelwert ist die Summe jeder Kategorie multipliziert mit der Anzahl der beobachteten Werte in der betreffenden Kategorie dividiert durch die Gesamtzahl der beobachteten Werte.

N

Die Anzahl der nicht fehlenden Werte in der Stichprobe.

In diesem Beispiel liegen 141 erfasste Beobachtungen vor.
Anzahl gesamt N N*
149 141 8

N*

Die Anzahl der fehlenden Werte in der Stichprobe. Die Anzahl der fehlenden Werte bezieht sich auf Zellen, die das Symbol für fehlende Werte * enthalten.

In diesem Beispiel sind während der Datenerfassung 8 Fehler aufgetreten, die als fehlende Werte aufgezeichnet wurden.
Anzahl gesamt N N*
149 141 8

Poisson-Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für jede Kategorie unter der Annahme, dass die Daten einer Poisson-Verteilung mit einem Mittelwert folgen, der jenem Poisson-Mittelwert entspricht, der aus den Daten berechnet wurde. Minitab verwendet die Poisson-Wahrscheinlichkeit, um die erwarteten Werte zu berechnen.

Beobachtete und erwartete Werte

Die beobachteten Werte sind jeweils die tatsächliche Anzahl der Beobachtungen in einer Stichprobe, die einer Kategorie angehören.

Die erwarteten Werte sind jeweils die Anzahl der Beobachtungen, die erwartet würden, wenn die Poisson-Wahrscheinlichkeiten wahr wären. Minitab berechnet die erwarteten Anzahlen, indem die Poisson-Wahrscheinlichkeiten aus jeder Kategorie mit dem gesamten Stichprobenumfang multipliziert werden.

Wenn die erwarteten Anzahlen (auch als erwartete Häufigkeiten bezeichnet) für eine Kategorie kleiner als 5 sind, sind die Ergebnisse des Tests möglicherweise ungültig. Wenn die erwarteten Anzahlen für eine Kategorie zu gering sind, können Sie die betreffende Kategorie u. U. mit angrenzenden Kategorien zusammenfassen, um die mindestens erforderliche Anzahl zu erhalten.

In einer Finanzabteilung wird z. B. mit Hilfe von fünf Kategorien verfolgt, wie viele Tage Rechnungen überfällig sind: 15 oder weniger, 16 bis 30, 31 bis 45, 46 bis 60 und 61 oder mehr. Für die Kategorie von 61 oder mehr Tagen wird nur eine geringe Anzahl erwartet, so dass diese mit der Kategorie für 46 bis 60 Tage kombiniert wird, um eine gemeinsame Kategorie für 46 oder mehr Tage zu erstellen.

Interpretation

Sie können die beobachteten und die erwarteten Werte vergleichen, indem Sie die Ausgabetabelle oder das Balkendiagramm verwenden. Größere Unterschiede zwischen den beobachteten und den erwarteten Werten geben an, dass die Daten nicht einer Poisson-Verteilung folgen.

In diesen Ergebnissen scheinen die erwarteten Anzahlen für die meisten Kategorien nicht sehr nahe an den beobachteten Anzahlen zu liegen.

Test auf Poisson-Verteilung: Fehler

Methode Häufigkeiten in Beobachtet
Deskriptive Statistik N Mittelwert 300 0,536667 Beobachtete und erwartete Anzahlen für Fehler Beobachtete Erwartete Beitrag zu Fehler Poisson-Wahrscheinlichkeit Anzahl Anzahl Chi-Quadrat 0 0,584694 213 175,408 8,056 1 0,313786 41 94,136 29,993 2 0,084199 18 25,260 2,086 >=3 0,017321 28 5,196 100,072
Chi-Quadrat-Test Nullhypothese H₀: Die Daten folgen einer Poisson-Verteilung. Alternativhypothese H₁: Die Daten folgen keiner Poisson-Verteilung.

DF Chi-Quadrat p-Wert 2 140,208 0,000

Beitrag zu Chi-Quadrat

Verwenden Sie die Beiträge der einzelnen Kategorien, um zu quantifizieren, wie viel der Gesamt-Chi-Quadrat-Statistik auf die Abweichung der einzelnen Kategorien zurückzuführen ist.

Minitab berechnet den Beitrag jeder Kategorie zur Chi-Quadrat-Statistik als Quadrat der Differenz zwischen den beobachteten und den erwarteten Werten für eine Kategorie dividiert durch den erwarteten Wert für diese Kategorie. Die Chi-Quadrat-Statistik stellt die Summe aus diesen Werten für alle Kategorien dar.

Interpretation

Kategorien mit einer großen Differenz zwischen den beobachteten und den erwarteten Werten leisten einen größeren Beitrag zur Gesamt-Chi-Quadrat-Statistik.

Test auf Poisson-Verteilung: Fehler

Methode Häufigkeiten in Beobachtet
Deskriptive Statistik N Mittelwert 300 0,536667 Beobachtete und erwartete Anzahlen für Fehler Beobachtete Erwartete Beitrag zu Fehler Poisson-Wahrscheinlichkeit Anzahl Anzahl Chi-Quadrat 0 0,584694 213 175,408 8,056 1 0,313786 41 94,136 29,993 2 0,084199 18 25,260 2,086 >=3 0,017321 28 5,196 100,072
Chi-Quadrat-Test Nullhypothese H₀: Die Daten folgen einer Poisson-Verteilung. Alternativhypothese H₁: Die Daten folgen keiner Poisson-Verteilung.

DF Chi-Quadrat p-Wert 2 140,208 0,000

In diesen Ergebnissen summieren sich die Chi-Quadrat-Werte aller Kategorien zur Gesamt-Chi-Quadrat-Statistik von 140,208. Der größte Beitrag stammt von der Kategorie mit 3 oder mehr Fehlern. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass die größte Differenz zwischen den beobachteten und den erwarteten Anzahlen in der Kategorie mit 3 oder mehr Fehlern vorliegt. Die kleinste Differenz zwischen den beobachteten und den erwarteten Anzahlen befindet sich in der Kategorie mit 2 Fehlern.

Nullhypothese und Alternativhypothese

Die Nullhypothese und die Alternativhypothese sind zwei einander ausschließende Aussagen über eine Grundgesamtheit. In einem Hypothesentest werden Stichprobendaten verwendet, um zu bestimmen, ob die Nullhypothese zurückgewiesen werden sollte.
Nullhypothese
Die Nullhypothese besagt, dass eine Grundgesamtheit einer bestimmten Verteilung folgt. Die Nullhypothese ist oft eine anfängliche Behauptung auf der Grundlage von früheren Analysen oder Fachwissen.
Alternativhypothese
Die Alternativhypothese besagt, dass eine Grundgesamtheit einer bestimmten Verteilung nicht folgt.

DF

Die Freiheitsgrade (DF) bezeichnen die Anzahl der unabhängigen Einzelinformationen in einer Statistik. Die Freiheitsgrade für den Test auf Poisson-Verteilung bestehen in der Anzahl der Kategorien – 2.

Interpretation

Minitab verwendet die Freiheitsgrade, um die Teststatistik zu berechnen. Je mehr Kategorien die Untersuchung enthält, desto mehr Freiheitsgrade sind vorhanden.

Chi-Quadrat

Die Chi-Quadrat-Statistik ist eine Teststatistik, mit der der Umfang der Abweichung zwischen der Verteilung Ihrer Stichprobendaten und einer erwarteten Poisson-Verteilung gemessen wird.

Interpretation

Sie können anhand der Chi-Quadrat-Statistik bestimmen, ob die Nullhypothese verworfen werden soll. Häufiger wird jedoch der p-Wert verwendet, da er leichter zu interpretieren ist. Mit dem p-Wert wird die Wahrscheinlichkeit angegeben, eine Teststatistik (z. B. die Chi-Square-Statistik) zu erhalten, die mindestens so extrem wie der anhand der Stichprobe berechnete Wert ist, wenn die Daten einer Poisson-Verteilung folgen.

Um zu bestimmen, ob die Nullhypothese zurückgewiesen werden sollte, vergleichen Sie die Chi-Quadrat-Statistik mit dem kritischen Wert. Wenn die Chi-Quadrat-Statistik größer als der kritische Wert ist, verwerfen Sie die Nullhypothese. Andernfalls verwerfen Sie die Nullhypothese nicht. Sie können den kritischen Wert in Minitab berechnen oder diesen einer in den meisten Fachbüchern vorhandenen Tabelle für die Chi-Quadrat-Verteilung entnehmen. Weitere Informationen finden Sie unter Verwenden der inversen kumulativen Verteilungsfunktion (ICDF), klicken Sie dort auf „Verwenden der ICDF zum Berechnen von kritischen Werten“.

Minitab verwendet die Chi-Quadrat-Statistik, um den p-Wert zu berechnen.

p-Wert

Der p-Wert ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für die Anzeichen gegen die Annahme der Nullhypothese. Ein kleinerer p-Wert liefert stärkere Anzeichen dafür, dass die Nullhypothese nicht zutrifft.

Interpretation

Verwenden Sie den p-Wert, um zu ermitteln, ob die Daten keiner Poisson-Verteilung folgen.

Um zu ermitteln, ob die Daten keiner Poisson-Verteilung folgen, vergleichen Sie den p-Wert mit dem Signifikanzniveau (α). In der Regel ist ein Signifikanzniveau (als α oder Alpha bezeichnet) von 0,05 gut geeignet. Ein Signifikanzniveau von 0,05 bedeutet ein Risiko der Schlussfolgerung, dass die Daten keiner Poisson-Verteilung folgen, wenn sie tatsächlich einer Poisson-Verteilung folgen, von 5 %.
p-Wert ≤ α: Die Daten folgen keiner Poisson-Verteilung (H0 verwerfen)
Wenn der p-Wert kleiner oder gleich dem Signifikanzniveau ist, weisen Sie die Nullhypothese zurück und schlussfolgern, dass die Daten keiner Poisson-Verteilung folgen.
p-Wert > α: Es kann nicht gefolgert werden, dass die Daten keiner Poisson-Verteilung folgen (H0 nicht verwerfen)
Wenn der p-Wert größer als das Signifikanzniveau ist, weisen Sie die Nullhypothese nicht zurück, da nicht genügend Anzeichen für die Schlussfolgerung vorliegen, dass die Daten keiner Poisson-Verteilung folgen.

Diagramm der Beiträge zum Chi-Quadrat-Wert nach Kategorie

Dieses Balkendiagramm stellt den Beitrag der einzelnen Kategorien zur Gesamt-Chi-Quadrat-Statistik dar. Sie können ein Diagramm auswählen, in dem die Kategorien vom größten bis zum kleinsten Beitrag angeordnet werden.

Interpretation

Kategorien mit einer großen Differenz zwischen den beobachteten und den erwarteten Werten leisten einen größeren Beitrag zur Gesamt-Chi-Quadrat-Statistik.

Dieses Balkendiagramm veranschaulicht, dass die größte Differenz zwischen den erwarteten und den beobachteten Werten in der Kategorie mit 3 oder mehr Fehlern vorliegt.

Diagramm der beobachteten und erwarteten Werte

Verwenden Sie ein Balkendiagramm der beobachteten und erwarteten Werte, um für jede Kategorie zu ermitteln, ob die Anzahl der beobachteten Werte von der Anzahl der erwarteten Werte abweicht. Größere Unterschiede zwischen den beobachteten und den erwarteten Werten geben an, dass die Daten nicht einer Poisson-Verteilung folgen.

Dieses Balkendiagramm zeigt, dass die beobachteten Werte für 0 Fehler, 1 Fehler und mehr als 3 Fehler von den erwarteten Werten abweichen. Das Balkendiagramm bestätigt also visuell, was der p-Wert angibt, nämlich dass die Daten nicht einer Poisson-Verteilung folgen.

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