Methoden und Formeln für Test auf Varianzen, 2 Stichproben

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Stichprobenstatistik

Minitab berechnet den Mittelwert, die Standardabweichung und die Varianz für beide Stichproben.

Formel

Die Standardabweichung ist gleich der Quadratwurzel der Varianz.

Notation

BegriffBeschreibung
Mittelwert der Stichprobe i
S2i Varianz der Stichprobe i
Xij j-te Messung der i-ten Stichprobe
ni Umfang von Stichprobe i

Test für Bonett-Methode mit balancierten Designs

Formel für die Teststatistik

Wenn n1 = n2, ist die Teststatistik Z2. Wenn die Nullhypothese ρ = ρ0 wahr ist, dann weist Z2 eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad auf. Z2 wird wie folgt angegeben:

wobei se(ρ0) der Standardfehler der zusammengefassten Kurtosis ist, der wie folgt angegeben wird:

wobei ri = (ni - 3) / ni und die zusammengefasste Kurtosis ist, die wie folgt angegeben wird:

se20) lässt sich auch ausdrücken in Form der Kurtosis-Werte der einzelnen Stichproben, , wie folgt:

Dabei gilt Folgendes:

Formel für p-Wert

Sei z2 der Wert von Z2, der aus den Daten erhalten wird. Gemäß der Nullhypothese H0: ρ = ρ0 weist Z eine Standardnormalverteilung auf. Daher werden die p-Werte für die Alternativhypothese (H1) wie folgt angegeben.

Hypothese p-Wert
H1: ρ0 ≠ ρ0 P = 2P(Z > |z|)
H1: ρ0 > ρ0 P = P(Z > z)
H1: ρ0 < ρ0 P = P(Z < z)

Notation

BegriffBeschreibung
SiStandardabweichung von Stichprobe i
ρVerhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit
ρ0hypothetisches Verhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit
αSignifikanzniveau für den Test = 1 - (Konfidenzniveau/100)
niAnzahl der Beobachtungen in der Stichprobe i
Kurtosis-Wert für die Stichprobe i
Xijj-te Beobachtung in der Stichprobe i
migetrimmtes Mittel für die Stichprobe i mit getrimmten Anteilen von

Test für Bonett-Methode mit nicht balancierten Designs

Formel

Wenn n1n2, gibt es keine Teststatistik. Stattdessen wird der p-Wert durch Invertieren des Konfidenzintervallverfahrens berechnet. Der p-Wert für den Test wird wie folgt angegeben:

P = 2 Min (αU, αO)

wobei αU der kleinste Wert von α ist, für den Folgendes gilt:
und αO ist der kleinste Wert von α, für den Folgendes gilt:

wobei cα eine Ausgleichskonstante (weiter unten beschrieben) und se(ρ0) der Standardfehler der zusammengefassten Kurtosis ist, der wie folgt angegeben wird:

wobei ri = (ni - 3) / ni und die zusammengefasste Kurtosis ist, die wie folgt angegeben wird:

se(ρ0) kann auch in Form der Kurtosis-Werte der einzelnen Stichproben ausgedrückt werden. Weitere Informationen finden Sie unter „Test für Bonett-Methode mit balancierten Designs“.

Ausgleichskonstante

Die Konstante cα wird als Korrektur für kleine Stichproben eingebunden, um den Effekt ungleicher Fehlerwahrscheinlichkeiten in den Randbereichen von nicht balancierten Designs zu mindern. Der Wert von cα wird wie folgt angegeben:

Die Konstante verschwindet, wenn die Designs balanciert sind, und ihre Auswirkung wird bei zunehmenden Stichprobenumfängen vernachlässigbar.

Ermitteln von αU und αO

Das Ermitteln von αU und αO entspricht dem Ermitteln der Wurzeln der Funktionen L(z , n1 , n2 , S1 , S2 ) und L(z , n2 , n1 , S2 , S1 ), wobei L(z , n1 , n2 , S1 , S2) wie folgt angegeben wird:

Sei:
Gehen Sie für n1 < n2 wie folgt vor:
  • Berechnen Sie zm, und werten Sie L(z, n1, n2, S1, S2) aus.
    • Wenn L(zm) 0, dann ermitteln Sie die Wurzel zL von L(z, n1, n2, S1, S2) im Intervall und berechnen Sie αU = P( Z > zL).
    • Wenn L(zm) > 0, dann hat die Funktion L(z , n1, n2, S1, S2) keine Wurzel, und αU = 0.
Gehen Sie für n1 > n2 wie folgt vor:
  • Berechnen Sie L(0, n1, n2, S1, S2) = ln (S12 / S22).
    • Wenn L(0, n1, n2, S1, S2) 0, dann ermitteln Sie die Wurzel z0 von L(z, n1, n2, S1, S2) im Intervall [0, n2).
    • Wenn L(0, n1, n2, S1, S2) < 0, dann ermitteln Sie die Wurzel zL im Intervall .
  • Berechnen Sie αU = P( Z > zL).

Wenden Sie zum Berechnen von αO die oben genannten Schritte mit Hilfe der Funktion L(z, n2, n1, S2, S1) anstelle der Funktion L(z, n1, n2, S1, S2) an.

Notation

BegriffBeschreibung
SiStandardabweichung der Stichprobe i
ρVerhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit
ρ0hypothetisches Verhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit
αSignifikanzniveau für den Test = 1 - (Konfidenzniveau/100)
zαPunkt des oberen α-Perzentils der Standardnormalverteilung
niAnzahl der Beobachtungen in der Stichprobe i
Xijj-te Beobachtung in der Stichprobe i
migetrimmtes Mittel für die Stichprobe i mit getrimmten Anteilen von

Konfidenzintervall für die Bonett-Methode

Formel

Konfidenzintervalle werden durch Invertieren des Testverfahrens berechnet. Genauer gesagt, löst Minitab die folgende Gleichung für ρ:

wobei cα/2 eine Ausgleichskonstante (weiter unten beschrieben) und se(ρ) der Standardfehler der zusammengefassten Kurtosis (weiter unten beschrieben) sind. Diese Gleichung hat i. d. R. zwei Lösungen: eine Lösung U < S1 / S2 und eine Lösung O > S1 / S2. U ist die untere Konfidenzgrenze, und O ist die oberer Konfidenzgrenze. Weitere Informationen finden Sie in Bonett-Methode, einem White Paper, das Simulationen und weitere Informationen über die Bonett-Methode enthält.

Die Konfidenzgrenzen für das Verhältnis der Varianzen erhalten Sie durch das Quadrieren der Konfidenzgrenzen für das Verhältnis der Standardabweichungen.

Ausgleichskonstante

Die Konstante cα wird als Korrektur für kleine Stichproben eingebunden, um den Effekt ungleicher Fehlerwahrscheinlichkeiten in den Randbereichen von nicht balancierten Designs zu mindern. Der Wert von cα wird wie folgt angegeben:

Die Konstante verschwindet, wenn die Designs balanciert sind, und ihre Auswirkung wird bei zunehmenden Stichprobenumfängen vernachlässigbar.

Standardfehler der zusammengefassten Kurtosis

se(ρ) ist der Standardfehler der zusammengefassten Kurtosis, der wie folgt ausgedrückt wird:

wobei ri = (ni - 3) / ni und die zusammengefasste Kurtosis ist, die wie folgt angegeben wird:

se(ρ) kann auch in Form der Kurtosis-Werte der einzelnen Stichproben ausgedrückt werden. Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt über den Test für die Bonett-Methode mit balancierten Designs.

Notation

BegriffBeschreibung
αSignifikanzniveau für den Test = 1 - (Konfidenzniveau/100)
SiStandardabweichung der Stichprobe i
ρVerhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit
zα/2Punkt des oberen α/2-Perzentils der Standardnormalverteilung
niAnzahl der Beobachtungen in der Stichprobe i
Xijj-te Beobachtung in der Stichprobe i
migetrimmtes Mittel für die Stichprobe i mit getrimmten Anteilen von

Test für die Levene-Methode

Formel

Der Levene-Test eignet sich für stetige Daten. Der Levene-Test ist nicht für zusammengefasste Daten verfügbar.

Um mit dem Levene-Test die Nullhypothese zu testen, dass σ1 / σ2 = ρ, führt Minitab eine einfache ANOVA für die Werte Z1j und ρZ2j durch (wobei j = 1, …, n1 oder n2).

Die Levene-Teststatistik ist gleich dem Wert der F-Statistik in der resultierenden ANOVA-Tabelle. Der p-Wert des Levene-Tests ist gleich dem p-Wert in dieser ANOVA-Tabelle.

  • H. Levene (1960). Contributions to Probability and Statistics. Stanford University Press, CA.
  • M.B. Brown and A.B. Forsythe (1974). „Robust Tests for the Equality of Variance“, Journal of the American Statistical Association, 69, 364–367.

Freiheitsgrade

Gemäß der Nullhypothese folgt die Teststatistik einer F-Verteilung mit DF1 und DF2 Freiheitsgraden.

DF1 = 1

DF2 = n1 + n2 – 2

Notation

BegriffBeschreibung
Zij|Xi j η i|
BegriffBeschreibung
j1, 2, …, ni
i1, 2
Xijeinzelne Beobachtungen
ηiMedian der Stichprobe i
σ1Standardabweichung der ersten Grundgesamtheit
σ2Standardabweichung der zweiten Grundgesamtheit
n1Umfang der ersten Stichprobe
n2Umfang der zweiten Stichprobe

Konfidenzintervalle für die Levene-Methode

Formel

Für stetige Daten berechnet Minitab die Konfidenzgrenzen für das Verhältnis (ρ) zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit mit den folgenden Formeln. Um Grenzen für das Verhältnis zwischen den Varianzen der Grundgesamtheit zu erhalten, quadrieren Sie die unten genannten Werte.

Wenn Sie die Alternativhypothese Verhältnis ≠ hypothetisches Verhältnis angeben, wird ein 100(1–α)%-Konfidenzintervall für ρ wie folgt angegeben:
  • Wenn , Untergrenze =

    Wenn , ist keine Untergrenze vorhanden.

  • Wenn , Obergrenze =

    Wenn , ist keine Obergrenze vorhanden.

Wenn Sie die Alternativhypothese Verhältnis < hypothetisches Verhältnis angeben, wird eine obere 100(1 – α)%-Konfidenzgrenze für ρ wie folgt angegeben:
  • Wenn , dann

  • Wenn , ist keine Obergrenze vorhanden.
Wenn Sie die Alternativhypothese Verhältnis > hypothetisches Verhältnis angeben, wird eine obere 100(1 – α)%-Konfidenzgrenze für ρ wie folgt angegeben:
  • Wenn , dann

  • Wenn , ist keine Untergrenze vorhanden.

Notation

BegriffBeschreibung
ηiMedian der Stichprobe i
Zij wobei j = 1, 2, ... , ni und i = 1, 2 und Xij die einzelnen Beobachtungen sind
MiMittelwert von Zij
Si2Varianz der Stichprobe von Zij
vi
ρσ1 / σ2
n1Umfang der ersten Stichprobe
n2Umfang der zweiten Stichprobe

Test für die F-Test-Methode

Der F-Test eignet sich für normalverteilte Daten. Um mit dem F-Test die Nullhypothese zu testen, dass σ1 / σ2 = ρ, verwendet Minitab die folgenden Formeln.

Formel für die Teststatistik

Formel für Freiheitsgrade

Gemäß der Nullhypothese folgt die F-Statistik einer F-Verteilung mit DF1 und DF2 Freiheitsgraden.

DF1 = n1 – 1

DF2 = n2 – 1

Formel für p-Wert

Die Berechnung des p-Werts hängt wie folgt von der Alternativhypothese ab.
  • Für einen einseitigen Test mit einer „Kleiner als“-Alternativhypothese entspricht der p-Wert der Wahrscheinlichkeit, eine F-Statistik zu erhalten, die kleiner oder gleich dem beobachteten Wert aus einer F-Verteilung mit DF1 und DF2 Freiheitsgraden ist.
  • Für einen beidseitigen Test mit einem Verhältnis kleiner als 1 entspricht der p-Wert dem Zweifachen der Fläche unter der F-Kurve bis zu dem beobachteten Wert aus einer F-Verteilung mit DF1 und DF2 Freiheitsgraden.
  • Für einen beidseitigen Test mit einem Verhältnis größer als 1 entspricht der p-Wert dem Zweifachen der Fläche unter der F-Kurve ab dem beobachteten Wert aus einer F-Verteilung mit DF1 und DF2 Freiheitsgraden.
  • Für einen einseitigen Test mit einer „Größer als“-Alternativhypothese entspricht der p-Wert der Wahrscheinlichkeit, eine F-Statistik zu erhalten, die größer oder gleich dem beobachteten Wert aus einer F-Verteilung mit DF1 und DF2 Freiheitsgraden ist.

Notation

BegriffBeschreibung
ρσ1 / σ2
σ1Standardabweichung der ersten Grundgesamtheit
σ2Standardabweichung der zweiten Grundgesamtheit
S21 Varianz der ersten Stichprobe
S22 Varianz der zweiten Stichprobe
n1Umfang der ersten Stichprobe
n2Umfang der zweiten Stichprobe

Konfidenzintervalle für die F-Test-Methode

Wenn die Daten einer Normalverteilung folgen, berechnet Minitab die Konfidenzgrenzen für das Verhältnis (ρ) zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheiten mit den folgenden Formeln. Um Grenzen für das Verhältnis zwischen den Varianzen der Grundgesamtheiten zu erhalten, quadrieren Sie die unten genannten Werte.

Formel

Wenn Sie eine „Ungleich“-Alternativhypothese angeben, wird ein 100(1 – α)%-Konfidenzintervall für ρ wie folgt angegeben:

Wenn Sie eine „Kleiner als“-Alternativhypothese angeben, wird eine obere 100(1 – α)%-Konfidenzgrenze für ρ wie folgt angegeben:

Wenn Sie eine „Größer als“-Alternativhypothese angeben, wird eine untere 100(1 – α)%--Konfidenzgrenze für ρ wie folgt angegeben:

Notation

BegriffBeschreibung
S1Standardabweichung der ersten Stichprobe
S2Standardabweichung der zweiten Stichprobe
ρσ1 / σ2
n1Umfang der ersten Stichprobe
n2Umfang der zweiten Stichprobe
F(α/2, n2–1, n1–1)kritischer Wert α/2 aus der F-Verteilung mit n2–1 und n1–1 Freiheitsgraden
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