Methoden und Formeln für Test auf Varianzen, 1 Stichprobe

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Standardabweichung (StdAbw)

Die Standardabweichung ist das am häufigsten verwendete Maß für die Streuung bzw. die Streubreite der Daten um den Mittelwert. Die Standardabweichung der Stichprobe ist gleich der Quadratwurzel der Varianz der Stichprobe.

Wenn die Spalte x1, x2,..., xN enthält, mit dem Mittelwert , dann wird die Standardabweichung angegeben durch:

Notation

BegriffBeschreibung
xii-te Beobachtung in der Stichprobe
Mittelwert der Stichprobe
SStandardabweichung der Stichprobe
nStichprobenumfang

Varianz

Die Varianz ist ein Maß der Streuung der Daten um ihren Mittelpunkt. Die Varianz ist gleich dem Quadrat der Standardabweichung.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
xii-te Beobachtung
Mittelwert der Beobachtungen
NAnzahl der nicht fehlenden Beobachtungen

Konfidenzintervalle und -grenzen für die Chi-Quadrat-Methode

Verwenden Sie diese Methode, wenn die Daten normalverteilt sind. Die Methode ist für nicht normalverteilte Daten ungenau, selbst wenn der Stichprobenumfang sehr groß ist.

Konfidenzintervalle

Ein 100(1 - α)%-Konfidenzintervall für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:
Ein 100(1 - α)%-Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

Konfidenzgrenzen

Wenn Sie einen einseitigen Test angeben, berechnet Minitab eine einseitige 100(1–α)%-Konfidenzgrenze gemäß der Richtung der Alternativhypothese.

  • Wenn Sie eine „Größer als“-Alternativhypothese angeben, wird eine untere 100(1–α)%-Grenze für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wie folgt angegeben:

    Eine untere 100(1–α)%-Grenze für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

  • Wenn Sie eine „Kleiner als“-Alternativhypothese angeben, wird eine obere 100(1–α)%-Grenze für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wie folgt angegeben:

    Eine obere 100(1–α)%-Grenze für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

Notation

BegriffBeschreibung
αAlpha-Niveau für das 100(1 – α)%-Konfidenzintervall
nStichprobenumfang
S2Stichprobenvarianz
Χ2(p)oberer 100p-ter Perzentilpunkt in einer Chi-Quadrat-Verteilung mit (n – 1) Freiheitsgraden
σwahrer Wert der Standardabweichung der Grundgesamtheit
σ2wahrer Wert der Varianz der Grundgesamtheit

Konfidenzintervalle und -grenzen für die Bonett-Methode

Verwenden Sie diese Methode für alle stetigen Daten (normalverteilt oder nicht normalverteilt). 1

Konfidenzintervall

Ein 100(1-α)%-Konfidenzintervall für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:
Ein 100(1-α)%-Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

Konfidenzgrenzen

Wenn Sie einen einseitigen Test angeben, berechnet Minitab eine einseitige 100(1–α)%-Konfidenzgrenze gemäß der Richtung der Alternativhypothese.

  • Wenn Sie eine „Größer als“-Alternativhypothese angeben, wird eine untere 100(1–α)%-Grenze für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wie folgt angegeben:
    Eine ungefähre untere 100(1- a)%-Grenze für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:
  • Wenn Sie eine „Kleiner als“-Alternativhypothese angeben, wird eine ungefähre obere 100(1 – α)%-Grenze für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wie folgt angegeben:
    Eine ungefähre obere 100(1 – α)%-Grenze für die Varianz der Grundgesamtheit wird angegeben durch:

Notation

BegriffBeschreibung
α 1 – Konfidenzniveau/100
cα/2 n / (nzα/2)
cα n / (nzα )
s2 beobachteter Wert der Varianz der Stichprobe
zα/2 inverse kumulative Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung bei 1 – α/2. Wenn n kleiner oder gleich zα/2 ist, berechnet Minitab keine Bonett-Konfidenzintervalle.
zα inverse kumulative Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung bei 1 – α. Wenn n kleiner oder gleich zα ist, berechnet Minitab keine Bonett-Konfidenzintervalle.
se
= geschätzter Kurtosis-Überschuss
m getrimmtes Mittel mit einem Trim-Anteil gleich ; m = Mittelwert der Stichprobe, wenn n kleiner oder gleich 5 ist
σ wahrer Wert der Standardabweichung der Grundgesamtheit
σ2 wahrer Wert der Varianz der Grundgesamtheit

Hypothesentest für die Chi-Quadrat-Methode

Verwenden Sie diese Methode, wenn die Daten normalverteilt sind. Die Methode ist für nicht normalverteilte Daten ungenau, selbst wenn der Stichprobenumfang sehr groß ist.

Formel

Der Hypothesentest verwendet die folgenden Gleichungen für den p-Wert der jeweiligen Alternativhypothesen:

H1: σ2 > σ02: p-Wert = P(Χ2x2)

H1: σ2 < σ02: p-Wert = P(Χ2x2)

H1: σ2σ02: p-Wert = 2 × Min{P(Χ2x2), P(Χ2x2)}

Notation

BegriffBeschreibung
σ2wahrer Wert der Varianz der Grundgesamtheit
σ02Hypothesenwert der Varianz der Grundgesamtheit
Χ2folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit (n – 1) Freiheitsgraden, wenn σ2 = σ02
x2
BegriffBeschreibung
S2beobachteter Wert der Varianz der Stichprobe
nStichprobenumfang

Hypothesentest für die Bonett-Methode

Verwenden Sie diese Methode für alle stetigen Daten (normalverteilt oder nicht-normalverteilt).

Formel

Das Bonett-Verfahren ist keiner Teststatistik zugeordnet. Minitab verwendet jedoch die Ablehnungsbereiche, die durch die Konfidenzgrenzen definiert sind, um einen p-Wert zu berechnen.

Für eine beidseitige Hypothese wird der p-Wert wie folgt angegeben:

p = 2 × Min(αU, αO)

  • Für eine einseitige „Kleiner als“-Alternativhypothese wird der p-Wert als αO berechnet, nachdem α/2 in der Notation durch α ersetzt wurde.
  • Für die einseitige „Größer als“-Alternativhypothese wird der p-Wert als αU berechnet, nachdem α/2 in der Notation durch α ersetzt wurde.

Notation

BegriffBeschreibung
σ02hypothetische Varianz
αUkleinste Lösung α der Gleichung
αOkleinste Lösung α der Gleichung
cα/2n / (nzα/2)
α1 - Konfidenzniveau/100
s2beobachteter Wert der Varianz der Stichprobe
zα/2inverse kumulative Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung bei 1 – α/2. Wenn n kleiner oder gleich zα/2 ist, berechnet Minitab keine Bonett-Konfidenzintervalle.
se
BegriffBeschreibung
= geschätzter Kurtosis-Überschuss
mgetrimmtes Mittel mit einem Trim-Anteil gleich ; m = 0, wenn n kleiner oder gleich 5 ist
1 D.G. Bonett (2006). „Approximate confidence interval for standard deviation of nonnormal distributions“, Computational Statistics & Data Analysis, 50, 775-782.
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