Methoden und Formeln für Ereignisrate in Poisson-Modellen, 1 Stichprobe

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Statistik

Minitab generiert die folgende deskriptive Statistik aus Ihrer Stichprobe. Minitab zeigt nur dann einen Mittelwert an, wenn Sie den „Beobachtungsumfang“ vom Standardwert 1 in einen anderen Wert ändern.
BegriffBeschreibung
Ereignisrate
Mittleres Vorkommen

Die Rate ist gleich der durchschnittlichen Anzahl der Vorkommen pro Einheit des Beobachtungsumfangs. Der Mittelwert ist die durchschnittliche Anzahl der Vorkommen in der gesamten Stichprobe. Wenn der Beobachtungsumfang gleich 1 ist, dann sind die Rate und der Mittelwert gleich.

p-Wert für den exakten Test

Formel

Im exakten Test für Ereignisrate in Poisson-Modellen, 1 Stichprobe werden die folgenden Gleichungen verwendet, um die p-Werte für die jeweiligen Alternativhypothesen zu berechnen:
  • H1: λ > λ0: p-Wert = P(Ss | λ = λ0), wobei S eine Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert 0t aufweist.
  • H1: λ < λ0: p-Wert = P(Ss | λ = λ0), wobei S eine Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert 0t aufweist.
  • H1: λλ0: Minitab verwendet einen Likelihood-Quotienten-Test wie folgt:
    Sei G(s) die Funktion, die den Likelihood-Quotienten-Test in Bezug auf s ausdrückt, der Gesamt-Ereignishäufigkeit im Poisson-Prozess:
    • Wenn 0 ≤ s < 0t, wird die Gleichung G(y) = G(s) für y im Intervall (0t, enλ0t] gelöst;

      p-Wert = P(Ss | λ = λ0) + P(Sy | λ = λ0)

    • Wenn s = 0t, dann

      p-Wert = 1,00

    • Wenn 0t < senλ0t, wird die Gleichung G(y) = G(s) für y im Intervall [0, 0t) gelöst;

      p-Wert = P(Sy | λ = λ0) + P(Ss | λ = λ0)

    • Wenn s > enλ0t, ist der Test einseitig und

      p-Wert = P(Ss | λ = λ0)

    wobei S eine Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert 0t aufweist.

Notation

BegriffBeschreibung
s Gesamt-Ereignishäufigkeit im Poisson-Prozess
tBeobachtungsumfang
λ0hypothetischer Wert des Parameters für die Rate der Grundgesamtheit
λwahrer Wert des Parameters für die Rate der Grundgesamtheit
nStichprobenumfang
e 2,71828 (ungefährer Wert)

Konfidenzintervalle und -grenzen für den exakten Test

Konfidenzintervalle

Ein exaktes 100(1 – α)%-Konfidenzintervall für die Ereignisrate eines Poisson-Prozesses wird wie folgt angegeben:

Wenn Sie einen Wert des „Beobachtungsumfangs“ angeben, zeigt Minitab auch ein Konfidenzintervall für die mittlere Ereignishäufigkeit an. Dieses Konfidenzintervall wird wie folgt angegeben:

Konfidenzgrenzen

Wenn Sie einen einseitigen Test angeben, berechnet Minitab eine einseitige 100(1 – α)%-Konfidenzgrenze gemäß der Richtung der Alternativhypothese.

  • Wenn Sie eine „Größer als“-Alternativhypothese angeben, wird die exakte untere 100(1 – α)%-Grenze der Rate wie folgt angegeben:

    Die exakte untere 100(1 – α)%-Grenze des Mittelwerts wird wie folgt angegeben:

  • Wenn Sie eine „Kleiner als“-Alternativhypothese angeben, wird die exakte obere 100(1 – α)%-Grenze der Rate wie folgt angegeben:

    Die exakte obere 100(1 – α)%-Grenze des Mittelwerts wird wie folgt angegeben:

Notation

BegriffBeschreibung
sGesamt-Ereignishäufigkeit im Poisson-Prozess
tBeobachtungsumfang
λwahrer Wert der Rate der Grundgesamtheit
μwahrer Wert des Mittelwerts der Grundgesamtheit
Χ2(p, x)oberer x-ter Perzentilpunkt der Χ2-Verteilung mit p Freiheitsgraden, wobei 0 < x < 1.
αAlpha-Niveau für das 100(1–α)%-Konfidenzintervall
nStichprobenumfang

p-Wert für die Normal-Approximation

Normal-Approximationen sind gültig, wenn die Gesamtzahl der Ereignisse größer als 10 ist.

Formel

Der auf einer Normal-Approximation basierende Hypothesentest für Ereignisrate in Poisson-Modellen, 1 Stichprobe verwendet die folgenden Gleichungen für den p-Wert der jeweiligen Alternativhypothesen:

Notation

BegriffBeschreibung
Z
t Beobachtungsumfang
λ 0 Hypothesenwert des Parameters für die Ereignisrate der Grundgesamtheit
λ wahrer Wert des Parameters für die Ereignisrate der Grundgesamtheit
beobachteter Wert der Ratenstatistik der Stichprobe
n Stichprobenumfang

Konfidenzintervalle und -grenzen für die Normal-Approximation

Konfidenzintervalle

Ein 100(1 – α)%-Konfidenzintervall auf der Grundlage einer Normal-Approximation für die Ereignisrate eines Poisson-Prozesses wird wie folgt angegeben:

Wenn Sie einen Wert des „Beobachtungsumfangs“ angeben, zeigt Minitab auch ein Konfidenzintervall für die mittlere Ereignishäufigkeit an. Dieses Konfidenzintervall wird wie folgt angegeben:

Konfidenzgrenzen

Wenn Sie einen einseitigen Test angeben, berechnet Minitab eine einseitige 100(1 – α)%-Konfidenzgrenze gemäß der Richtung der Alternativhypothese.
  • Wenn Sie eine „Größer als“-Alternativhypothese angeben, wird die exakte untere 100(1 – α)%-Grenze der Rate wie folgt angegeben:

    Wenn Sie einen Wert des „Beobachtungsumfangs“ angeben, wird die exakte untere 100(1-α)%-Grenze des Mittelwerts wie folgt angegeben:

  • Wenn Sie eine „Kleiner als“-Alternativhypothese angeben, wird die exakte obere 100(1 – α)%-Grenze der Rate wie folgt angegeben:

    Wenn Sie einen Wert des „Beobachtungsumfangs“ angeben, wird die exakte obere 100(1-α)%-Grenze des Mittelwerts wie folgt angegeben:

Notation

BegriffBeschreibung
s Gesamt-Ereignishäufigkeit im Poisson-Prozess
tBeobachtungsumfang
λwahrer Wert der Rate der Grundgesamtheit
μwahrer Wert des Mittelwerts der Grundgesamtheit
ZxPunkt des oberen x. Perzentils für die Standardnormalverteilung, wobei 0 < x < 1
αAlpha-Niveau für das 100(1–α)%-Konfidenzintervall
mittlere Ereignishäufigkeit in der Stichprobe
nStichprobenumfang
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