Methoden und Formeln für Toleranzintervalle (Normalverteilung)

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Methoden für das Toleranzintervall

Minitab berechnet sowohl verteilungsgebundene als auch verteilungsfreie Toleranzintervalle. Bei den Berechnungen für die verteilungsgebundenen Toleranzintervalle wird davon ausgegangen, dass die übergeordnete Verteilung der Stichprobe normalverteilt ist. Bei den Berechnungen für die verteilungsfreien Toleranzintervalle wird nur davon ausgegangen, dass die übergeordnete Verteilung stetig ist.

Allgemeine Definitionen

Seien x1, x2, ..., xn die geordneten Statistiken auf der Grundlage einer Zufallsstichprobe mit dem Umfang n aus einer stetigen Verteilung.

Die Verteilungsfunktion sei F(x, θ) für Ω in einem Parameterraum mit einer Dimension größer oder gleich 1.

Seien U < O zwei Statistiken, die auf der Stichprobe basieren, so dass für beliebige gegebene Werte α und P bei 0 < α < 1 und 0 < P < 1 Folgendes für jedes θ in Ω gilt:

Das Intervall [U; O] ist dann ein beidseitiges Toleranzintervall mit dem Inhalt = P x 100 % und dem Konfidenzniveau = 100(1 – α) %. Ein solches Intervall kann als beidseitiges Toleranzintervall (1 – α; P) bezeichnet werden. Wenn beispielsweise α = 0,10 und P = 0,85, wird das resultierende Intervall als beidseitiges Toleranzintervall (90 %; 0,85) bezeichnet.

Wenn U = –∞ und O < +∞, dann wird das Intervall (-∞; O] als einseitige obere Toleranzgrenze (1 – α; P) bezeichnet. Wenn U > -∞ und O = +∞, dann wird das Intervall [U, +∞) als einseitige untere Toleranzgrenze (1 – α; P) bezeichnet.

Toleranzintervalle weisen die folgenden interessanten und nützlichen Merkmale auf:
  • Eine einseitige untere Toleranzgrenze (1 – α; P) ist auch eine einseitige obere Toleranzgrenze (P; 1 – α).
  • Eine einseitige untere (1 – α)100%-Konfidenzgrenze des (1 – P)-ten Perzentils der Verteilung der Daten ist auch eine einseitige untere Toleranzgrenze (1 – α; P). Ebenso ist eine einseitige obere (1 – α)100%-Konfidenzgrenze des P-ten Perzentils der Verteilung der Daten auch eine einseitige obere Toleranzgrenze (1 – α; P).
  • Wenn U und O einseitige untere und obere Toleranzgrenzen (1 – α/2; (1 + P)/2) sind, dann ist [U; O] annähernd ein beidseitiges Toleranzintervall (1 – α; P). Diese Methode kann in Fällen verwendet werden, in denen beidseitige Toleranzintervalle nicht direkt berechnet werden können. Die resultierenden beidseitigen Toleranzintervalle sind im Allgemeinen konservativ. Siehe Guenther1 sowie Hahn und Meeker2.
  1. Guenther, W. C. (1972). Tolerance intervals for univariate distributions. Naval Research Logistics, 19: 309-333.
  2. Hahn, G. J. und Meeker, W. Q. (1991). Statistical Intervals: A Guide for Practitioners John Wiley & Sons, New York.

Genaue Toleranzintervalle für Normalverteilungen

Minitab berechnet genaue Toleranzintervalle (1 – α; P), wobei 1 – α das Konfidenzniveau und P die Abdeckung (der minimale Soll-Prozentsatz der Grundgesamtheit im Intervall) ist. Die Untergrenze U und die Obergrenze O werden für alle Toleranzintervalle durch folgende Formeln angegeben:

Toleranzfaktor für einseitige Intervalle

Der genaue Toleranzfaktor für ein einseitiges Intervall wird mit der folgenden Gleichung angegeben:

Hierbei ist tn–1,1–α(δ) das (1 – α)-te Perzentil der nicht zentralen t-Verteilung mit n – 1 Freiheitsgraden und dem Nichtzentralitätsparameter δ, der durch folgende Formel angegeben wird:

Toleranzfaktor für beidseitige Intervalle

Der genaue Toleranzfaktor für ein beidseitiges Intervall lässt sich anhand der folgenden Gleichung für k berechnen. Weitere Informationen finden Sie in Krishnamoorthy und Mathew1.

Hierbei ist Fn – 1 die kumulative Verteilungsfunktion für eine Chi-Quadrat-Verteilung mit n – 1 Freiheitsgraden, und χ21,p ist das P-te Perzentil der nicht zentralen Chi-Quadrat-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad und dem Nichtzentralitätsparameter P. Die linke Seite der Gleichung kann folgendermaßen umgeschrieben werden:

Dabei gilt Folgendes:

Hierbei ist Φ(z) die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. Minitab verwendet eine Gauß-Legendre-Quadratur mit 36 Punkten, um I(k, n, P) auszuwerten.

Notation

BegriffBeschreibung
1 - αKonfidenzniveau für das Toleranzintervall
PAbdeckung des Toleranzintervalls (minimaler Soll-Prozentsatz der Grundgesamtheit im Intervall)
UUntergrenze des Toleranzintervalls
OObergrenze des Toleranzintervalls
Mittelwert der Stichprobe
kToleranzfaktor (auch als k-Faktor bezeichnet)
SStandardabweichung der Stichprobe
nAnzahl der Beobachtungen in der Stichprobe
ZPP-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
  1. Krishnamoorthy, K. und Mathew, T. (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. Wiley, Hoboken, NJ.

Genaue verteilungsfreie Toleranzintervalle für stetige Verteilungen

Minitab berechnet genaue verteilungsfreie Toleranzintervalle (1 – α; P), wobei 1 – α das Konfidenzniveau und P die Abdeckung ist (der minimale Soll-Prozentsatz der Grundgesamtheit im Intervall). Die verteilungsfreie Methode für Toleranzintervalle ist eine nichtparametrische Methode. Das heißt, verteilungsfreie Toleranzintervalle sind nicht von der übergeordneten Grundgesamtheit der Stichprobe abhängig. Minitab verwendet eine genaue Methode für einseitige und für beidseitige Intervalle.

Seien X 1, X 2 , ... , X n die geordneten Statistiken auf der Grundlage einer Zufallsstichprobe aus einer stetig verteilten Grundgesamtheit F(x;θ). Dann kann auf der Grundlage der Erkenntnisse von Wilks1, 2 und Robbins3 gezeigt werden, dass:

Hierbei ist B die kumulative Verteilungsfunktion der Betaverteilung mit den Parametern a = r und b = ns + 1. Somit ist (Xr; Xs) ein verteilungsfreies Toleranzintervall, da die Abdeckung des Intervalls eine Betaverteilung mit bekannten Parameterwerten aufweist, die unabhängig von der Verteilung der übergeordneten Grundgesamtheit F(x;θ) sind.

Einseitige Intervalle

Sei k die größte ganze Zahl, die Folgendes erfüllt:

wobei Y eine binomiale Zufallsvariable mit den Parametern n und 1 – P ist. Es kann gezeigt werden (siehe Krishnamoorthy und Mathew4), dass eine einseitige untere Toleranzgrenze (1 – α; P) durch Xk angegeben wird. Entsprechend wird eine einseitige obere Toleranzgrenze (1 – α; P) durch Xnk +1 angegeben. In beiden Fällen wird die tatsächliche oder effektive Abdeckung als P(Y > k) angegeben.

Beidseitige Intervalle

Sei k die kleinste ganze Zahl, die Folgendes erfüllt:

wobei V eine binomiale Zufallsvariable mit den Parametern n und P ist. Folglich ist:

wobei FV–1(x) die inverse kumulative Verteilungsfunktion von V ist. Es kann gezeigt werden (siehe Krishnamoorthy und Mathew4), dass ein beidseitiges Toleranzintervall (1 – α; P) durch (Xr; Xs) angegeben werden kann. Minitab wählt s = nr + 1 so aus, dass r = (nk + 1)/2. Sowohl r als auch s werden auf die nächste ganze Zahl abgerundet. Die tatsächliche oder effektive Abdeckung wird als P(V < k – 1) angegeben.

Notation

BegriffBeschreibung
1 – αKonfidenzniveau für das Toleranzintervall
P Abdeckung des Toleranzintervalls (minimaler Soll-Prozentsatz der Grundgesamtheit im Intervall)
n Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe
  1. Wilks, S. S. (1941). Sample size for tolerance limits on a normal distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 12, 91-96.
  2. Wilks, S. S. (1941). Statistical prediction with special reference to the problem of tolerance limits. The Annals of Mathematical Statistics, 13, 400–409.
  3. Robbins, H. (1944). On distribution-free tolerance limits in random sampling. The Annals of Mathematical Statistics, 15, 214-216.
  4. Krishnamoorthy, K. und Mathew, T. (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. Wiley, Hoboken, NJ.
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