Methoden und Formeln für das Wahrscheinlichkeitsnetz in Identifikation der Verteilung

Wahrscheinlichkeitsnetz

Das Wahrscheinlichkeitsnetz besteht aus folgenden Elementen:

  • Punkte: Die geschätzten Perzentile für die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten eines geordneten Datensatzes.
  • Mittellinie: Die erwarteten Perzentile aus der Verteilung auf der Grundlage der geschätzten Maximum-Likelihood-Parameter. Wenn die Verteilung gut an die Daten angepasst ist, sind die Punkte entlang der Mittellinie angeordnet.

Geschätzte Wahrscheinlichkeiten

Minitab schätzt die Wahrscheinlichkeit (P), die verwendet wird, um die Diagrammpunkte zu berechnen, mit den folgenden Methoden.

  • Median-Rang (Benard-Methode)
  • Mittlerer Rang (Herd-Johnson-Schätzung)
  • Kaplan-Meier modifiziert (Hazen)
  • Kaplan-Meier-Produktlimitschätzung

Notation

BegriffBeschreibung
nAnzahl der Beobachtungen
iRang der i-ten geordneten Beobachtung x(i), wobei x(1), x(2),...x(n) die Reihenfolgestatistiken oder die vom kleinsten zum größten Wert sortierten Daten sind

Diagrammpunkte

Die Mittellinie des Wahrscheinlichkeitsnetzes wird mit Hilfe der Berechnungen für die x- und y-Koordinate in dieser Tabelle erstellt.

Verteilung x-Koordinate y-Koordinate
Kleinster Extremwert x ln(–ln(1 – p))
Größter Extremwert x ln(–ln p)
Weibull ln(x) ln(–ln(1 – p))
Weibull mit 3 Parametern ln(x – Schwellenwert) ln(–ln(1 – p))
Exponential ln(x) ln(–ln(1 – p))
Exponential mit 2 Parametern ln(x – Schwellenwert) ln(–ln(1 – p))
Normal x Φ–1norm
Lognormal ln(x) Φ–1norm
Lognormal mit 3 Parametern ln(x – Schwellenwert) Φ–1norm
Logistisch x
Loglogistisch ln(x)
Loglogistisch mit 3 Parametern ln(x – Schwellenwert)
Gamma x Φ–1Gamma
Gamma mit 3 Parametern ln(x – Schwellenwert) Φ–1Gamma
Hinweis

Da die Diagrammpunkte von keiner Verteilung abhängig sind, sind sie vor der Transformation für jedes Wahrscheinlichkeitsnetz gleich. Die Anpassungslinie unterscheidet sich jedoch je nach ausgewählter Verteilung.

Notation

BegriffBeschreibung
pGeschätzte Wahrscheinlichkeit
Φ-1normDer für p von der inversen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zurückgegebene Wert
Φ-1GammaDer für p von der inversen Verteilungsfunktion der unvollständigen Gamma-Verteilung zurückgegebene Wert
ln(x)Natürlicher Logarithmus von x

Perzentile und Standardfehler der Perzentile

Ein Perzentil ist ein Wert auf einer Skala von 0 bis 100, der den prozentualen Anteil einer Verteilung angibt, der kleiner oder gleich diesem Wert ist. Standardmäßig zeigt Minitab in der verteilungsgebundenen Analyse Perzentiltabellen für gängige Perzentile an.

Die Standardfehler für die geschätzten Perzentile sind die Quadratwurzeln der Varianzen.

, , , , , , , und geben die Varianzen und Kovarianzen der MLEs von μ, σ, α, β, λ und θ an, die aus dem entsprechenden Element der Inverse der Fisher-Informationsmatrix entnommen wurden.

Die für die Schätzwerte der Perzentile und Varianzen verwendeten Formeln lauten wie folgt:

Verteilung des kleinsten Extremwerts

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = ln[–ln(1 – p)], die inverse kumulative Verteilungsfunktion für die Verteilung des kleinsten Extremwerts.

Verteilung des größten Extremwerts

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = ln[–-ln(p)], die inverse kumulative Verteilungsfunktion für die Verteilung des größten Extremwerts.

Weibull-Verteilung

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = ln[–ln(1 – p)], die inverse kumulative Verteilungsfunktion für die Verteilung des kleinsten Extremwerts.

Weibull-Verteilung mit 3 Parametern

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = ln[–ln(1 – p)], die inverse kumulative Verteilungsfunktion für die Verteilung des kleinsten Extremwerts.

Exponentialverteilung

Perzentil
Varianz

Exponentialverteilung mit 2 Parametern

Perzentil
Varianz

Normalverteilung

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = die inverse kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung.

Lognormale Verteilung

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = die inverse kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung.

Lognormalverteilung mit 3 Parametern

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = die inverse kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung.

Logistische Verteilung

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = ln[p/(1 – p)], die inverse kumulative Verteilungsfunktion der logistischen Verteilung.

Loglogistische Verteilung

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = ln[p/(1 – p)], die inverse kumulative Verteilungsfunktion der logistischen Verteilung.

Loglogistische Verteilung mit 3 Parametern

Perzentil
Varianz

Dabei ist zp = ln[p/(1 – p)], die inverse kumulative Verteilungsfunktion der logistischen Verteilung.

Gamma-Verteilung

Perzentil
Varianz

wobei die Inverse der normalisierten unvollständigen Gamma-Verteilung ist.

Gamma-Verteilung mit 3 Parametern

Perzentil
Varianz

wobei die Inverse der normalisierten unvollständigen Gamma-Verteilung ist.

Konfidenzgrenzen für Perzentile

Verteilung Konfidenzgrenzen
Kleinster Extremwert
Größter Extremwert
Normal
Logistisch
Weibull
Exponential
Lognormal
Loglogistisch
Weibull mit 3 Parametern
Wenn λ < 0:
Wenn λ ≥ 0:
Exponential mit 2 Parametern
Wenn λ < 0:
Wenn λ ≥ 0:
Lognormal mit 3 Parametern
Wenn λ < 0:
Wenn λ ≥ 0:
Loglogistisch mit 3 Parametern
Wenn λ < 0:
Wenn λ ≥ 0:

Notation

BegriffBeschreibung
Kγ(1 + γ)/2-tes Perzentil einer Standardnormalverteilung
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