Methoden und Formeln zum Schätzen von Sigma für X-quer-Karte

Die Prozessstandardabweichung wird auch als Sigma oder σ bezeichnet. Wenn Sie einen historischen Wert für Sigma angeben, verwendet Minitab den historischen Wert. Andernfalls verwendet Minitab eine der folgenden Methoden, um Sigma aus den Daten zu schätzen.

R-quer-Methode

Minitab verwendet die Spannweite jeder Teilgruppe, , zum Berechnen von , einem erwartungstreuen Schätzwert von σ:

Dabei gilt Folgendes:

Wenn die Teilgruppengröße konstant ist, vereinfacht sich die Formel wie folgt:

wobei (R-quer) der Mittelwert der Teilgruppenspannweiten ist, der wie folgt berechnet wird:

Notation

BegriffBeschreibung
riSpannweite für Teilgruppe i
m Anzahl der Teilgruppen
d2(·)Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung d2, der dem in Klammern angegebenen Wert entspricht
niAnzahl der Beobachtungen in Teilgruppe i
d3(·)Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung d3, der dem in Klammern angegebenen Wert entspricht

S-quer-Methode

Ohne Konstante für erwartungstreue Schätzung

Wenn Sie keine Konstante für die erwartungstreue Schätzung verwenden, ist S-quer der Mittelwert der Teilgruppenstandardabweichungen:

Mit Konstante für erwartungstreue Schätzung

Wenn Sie die Konstante für die erwartungstreue Schätzung c4(ni) verwenden, wird S-quer wie folgt berechnet:

Wenn die Teilgruppengröße konstant ist, ist S-quer:

Notation

BegriffBeschreibung
c4 (ni)Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung c4, der dem in Klammern angegebenen Wert entspricht.
SiStandardabweichung von Teilgruppe i
mAnzahl der Teilgruppen

Methode der zusammengefassten Standardabweichung

Die zusammengefasste Standardabweichung (Sp) wird mit der folgenden Formel berechnet:

Wenn die Teilgruppengröße konstant ist, kann Sp auch wie folgt berechnet werden:

Mit Konstante für erwartungstreue Schätzung

Standardmäßig wendet Minitab die Konstante für die erwartungstreue Schätzung c4() an, wenn Sie die zusammengefasste Standardabweichung zum Schätzen von σ verwenden:

Wenn die Teilgruppengröße konstant ist, kann der erwartungstreue Wert von Sp auch wie folgt berechnet werden:

Notation

BegriffBeschreibung
xijj-te Beobachtung in der i-ten Teilgruppe
Mittelwert der Teilgruppe i
niAnzahl der Beobachtungen in Teilgruppe i
μvMittelwert der Varianzen der Teilgruppen
c4(·)Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung c4, der dem in Klammern angegebenen Wert entspricht.
dFreiheitsgrade für Sp, durch die folgende Formel angegeben:

Konstanten für erwartungstreue Schätzung d2(), d3() und d4()

d2(N) ist der erwartete Wert der Spannweite von N Beobachtungen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit Standardabweichung = 1. Wenn also r die Spannweite einer Stichprobe von N Beobachtungen aus einer Normalverteilung mit Standardabweichung = σ ist, dann ist E(r) = d2(N)σ.

d3(N) ist die Standardabweichung der Spannweite von N Beobachtungen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit σ = 1. Wenn also r die Spannweite einer Stichprobe von N Beobachtungen aus einer Normalverteilung mit Standardabweichung = σ ist, dann ist StdAbw(r) = d3(N)σ.

Suchen Sie in der folgenden Tabelle eine Konstante für die erwartungstreue Schätzung für einen bestimmten Wert N. (Ziehen Sie zum Bestimmen des Werts von N die Formel für die betreffende Statistik hinzu.)

Verwenden Sie für Werte von N von 51 bis 100 die folgende Approximation für d2(N):
Verwenden Sie für Werte von N von 26 bis 100 die folgenden Approximationen für d3(N) und d4(N):
Weitere Informationen zu diesen Konstanten finden Sie in folgenden Veröffentlichungen:
  • D. J. Wheeler und D. S. Chambers. (1992). Understanding Statistical Process Control, Second Edition, SPC Press, Inc.
  • H. Leon Harter (1960). „Tables of Range and Studentized Range“. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 31, Nr. 4, Institute of Mathematical Statistics, S. 1122−1147.
Tabelle 1. Tabelle der Werte
N d2(N) d3(N) d4(N)
2 1,128 0,8525 0,954
3 1,693 0,8884 1,588
4 2,059 0,8798 1,978
5 2,326 0,8641 2,257
6 2,534 0,848 2,472
7 2,704 0,8332 2,645
8 2,847 0,8198 2,791
9 2,970 0,8078 2,915
10 3,078 0,7971 3,024
11 3,173 0,7873 3,121
12 3,258 0,7785 3,207
13 3,336 0,7704 3,285
14 3,407 0,7630 3,356
15 3,472 0,7562 3,422
16 3,532 0,7499 3,482
17 3,588 0,7441 3,538
18 3,640 0,7386 3,591
19 3,689 0,7335 3,640
20 3,735 0,7287 3,686
21 3,778 0,7242 3,730
22 3,819 0,7199 3,771
23 3,858 0,7159 3,811
24 3,895 0,7121 3,847
25 3,931 0,7084 3,883
N d2(N)
26 3,964
27 3,997
28 4,027
29 4,057
30 4,086
31 4,113
32 4,139
33 4,165
34 4,189
35 4,213
36 4,236
37 4,259
38 4,280
39 4,301
40 4,322
41 4,341
42 4,361
43 4,379
44 4,398
45 4,415
46 4,433
47 4,450
48 4,466
49 4,482
50 4,498

Konstanten für erwartungstreue Schätzung c4() und c5()

c4()

c5()

Notation

BegriffBeschreibung
Γ()Gamma-Funktion
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