Methoden und Formeln für mit Johnson-Transformation transformierte Daten in Prozessfähigkeitsanalyse (normal)

Prozessfähigkeitsindizes für mit Johnson-Transformation transformierte Daten

Bei der Johnson-Transformation wird die optimale Funktion aus drei Familien von Verteilungen einer Variablen ausgewählt, die einfach in eine Standardnormalverteilung transformiert werden können. Diese Verteilungen werden mit SB, SL und SU gekennzeichnet, wobei sich B, L und U auf eine beschränkte, lognormale oder unbeschränkte Variable beziehen. In Minitab werden die Parameter für die Verteilungen als erste Form, zweite Form, Lage und Skala bezeichnet. Weitere Informationen finden Sie unter Methoden und Formeln für Transformationen in Identifikation der Verteilung; klicken Sie dort auf „Methoden und Formeln für die Johnson-Transformation“.

Wenn beide Spezifikationsgrenzen innerhalb der Spannweite der Transformationsfunktion liegen, berechnet Minitab die Indizes der Gesamtprozessfähigkeit auf der Grundlage der Normalverteilung für die transformierten Daten. Weitere Informationen finden Sie unter Methoden und Formeln für Maße der Gesamtprozessfähigkeit in Prozessfähigkeitsanalyse (normal).

Wenn es sich bei der ausgewählten Familie um den Typ SB oder SL handelt und die untere und/oder obere Spezifikationsgrenze außerhalb der Spannweite der Verteilung liegt, führt Minitab zusätzliche Berechnungen durch, um die Indizes der Gesamtprozessfähigkeit zu bestimmen.

SB-Verteilung

Wenn mindestens eine der Spezifikationsgrenzen (X) vor der Transformation außerhalb der Spannweite der Verteilung liegt (nicht ε < X < ε + λ), werden Pp, Ppk, PPL, PPU, Z.USG und Z.OSG wie folgt berechnet:

Zuerst berechnet Minitab die Perzentile im transformierten Raum.

Anhand der drei z-Werte berechnet Minitab die entsprechenden Werte für X1, X2 und X3 im ursprünglichen Raum:

Die Indizes für die Gesamtprozessfähigkeit werden dann aus den X-Werten und den Werten der Spezifikationsgrenzen berechnet.

Notation

BegriffBeschreibung
USGUntere Spezifikationsgrenze
OSGObere Spezifikationsgrenze
Mittelwert der Stichprobe (X̅) der transformierten Daten
TolerToleranz bei Standardabweichungen
sStandardabweichung der Stichprobe der transformierten Daten
ε,Lageparameter der Johnson-Transformation
γFormparameter der Johnson-Transformation
ηFormparameter der Johnson-Transformation (η > 0)
λSkalenparameter der Johnson-Transformation (λ > 0)

Die Berechnungen für Z.Bench und die Werte der erwarteten Leistung für eine SB-Verteilung hängen von der Lage der USG und der OSG im Verhältnis zu X2 sowie von den Verteilungsgrenzen ab.

Die USG und die OSG befinden sich auf entgegengesetzten Seiten von X2
  • Wenn sowohl die USG als auch die OSG außerhalb der Spannweite der Verteilung liegen, zeigt Minitab Folgendes an:

    Z.Bench fehlt

    PPM < USG = 0

    PPM > OSG = 0

    PPM Gesamt = 0

  • Wenn eine Spezifikationsgrenze außerhalb und die andere innerhalb der Spannweite der Verteilung liegt, berechnet Minitab die folgenden Werte:

    PPM für Spezifikationsgrenze außerhalb der Spannweite = 0

    PPM für Spezifikationsgrenze innerhalb der Spannweite = p*1000000

    PPM Gesamt = p*1000000

    Hinweis

    Minitab verwendet die transformierten Daten und die transformierten Spezifikationsgrenzen, um PPM zu berechnen.

Die USG und die OSG befinden sich links von X2
  • Wenn sowohl die USG als auch die OSG außerhalb der Spannweite der Verteilung liegen, zeigt Minitab Folgendes an:

    Z.Bench fehlt

    PPM < USG = 0

    PPM > OSG = 1

    PPM Gesamt = 1

  • Wenn die USG außerhalb und die OSG innerhalb der Spannweite der Verteilung liegt, berechnet Minitab die folgenden Werte:

    PPM < USG = 0

    PPM > OSG = p*1000000

    PPM Gesamt = PPM > OSG

    Hinweis

    Minitab verwendet die transformierten Daten und die transformierten Spezifikationsgrenzen, um PPM zu berechnen.

Die USG und die OSG befinden sich rechts von X2
  • Wenn sowohl die USG als auch die OSG außerhalb der Spannweite der Verteilung liegen, zeigt Minitab Folgendes an:

    Z.Bench fehlt

    PPM < USG = 1

    PPM > OSG = 0

    PPM Gesamt = 1

  • Wenn die USG innerhalb und die OSG außerhalb der Spannweite der Verteilung liegt, berechnet Minitab die folgenden Werte:

    PPM < USG = p*1000000

    PPM > OSG = 0

    PPM Gesamt = PPM < USG

    Hinweis

    Minitab verwendet die transformierten Daten und die transformierten Spezifikationsgrenzen, um PPM zu berechnen.

SL-Verteilung

Wenn mindestens eine der Spezifikationsgrenzen vor der Transformation außerhalb der Spannweite der Verteilung liegt, verwendet Minitab zur Berechnung von Pp, Ppk, PPL, PPU, Z.USG und Z.OSG dieselbe Methode, die oben für die SB-Verteilung dargestellt ist. Die einzige Abweichung besteht in der Formel zum Ermitteln des Originalwerts von X aus dem transformierten Wert Z.

Die Berechnungen für Z.Bench und die Werte der erwarteten Leistung für eine SL-Verteilung hängen von der Lage der USG und der OSG im Verhältnis zu ε ab.
USG und OSG sind kleiner oder gleich ε (beide liegen außerhalb der Spannweite der Verteilung)

Z.Bench fehlt

PPM < USG = 0

PPM > OSG = 1

PPM Gesamt = 1

USG ist kleiner oder gleich ε

PPM < USG = 0

PPM > OSG = p*1000000

PPM Gesamt = PPM > OSG

Notation

BegriffBeschreibung
Inverse kumulative Verteilungsfunktion (CDF) einer Standardnormalverteilung
pWahrscheinlichkeit, mit der die transformierten Daten außerhalb der transformierten Spezifikationsgrenze liegen
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