Methoden und Formeln für Annahmestichprobenprüfung nach Variablen (erstellen/vergleichen)

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Stichprobenumfang und kritische Distanz

Die Berechnung des Stichprobenumfangs n und der kritischen Distanz k hängt von der Anzahl der angegebenen Spezifikationsgrenzen sowie davon ab, ob die Standardabweichung bekannt ist.

Einzelne Spezifikationsgrenze und bekannte Standardabweichung

Der Stichprobenumfang wird wie folgt ausgedrückt:

Die kritische Distanz wird wie folgt ausgedrückt:

Dabei gilt Folgendes:

Einzelne Spezifikationsgrenze und unbekannte Standardabweichung

Der Stichprobenumfang wird wie folgt ausgedrückt:

Die kritische Distanz wird wie folgt ausgedrückt:

Die Standardabweichung wird aus den Stichprobendaten geschätzt:

Beide Spezifikationsgrenzen und bekannte Standardabweichung

Zuerst berechnet Minitab z:

Anschließend ermittelt Minitab p* aus der Standardnormalverteilung als Fläche des oberen Randbereichs, die z entspricht. Dies ist die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit außerhalb einer der Spezifikationsgrenzen.

Die Methode, mit der Minitab den Stichprobenumfang und die kritische Distanz berechnet, hängt von diesem Wert von p* ab.

Sei p1 = AQL, p2 = RQL

  • Wenn 2p* ≤ (p1/ 2), liegen die zwei Spezifikationsgrenzen relativ weit auseinander, und die Berechnungen entsprechen den Plänen mit einzelnen Grenzen.
  • Wenn p1/ 2 < 2p* ≤ p1, liegen die beiden Spezifikationsgrenzen nicht so weit auseinander; dennoch liegen sie nicht so dicht beieinander, dass die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit für bestimmte Mittelwerte ermittelt werden kann. Minitab bestimmt den Stichprobenumfang und die kritische Distanz iterativ.

Sei

μ = μ0+ m * h, wobei h = σ/100

Sei m = 1, 2, ...300. Für jedes μ wird Folgendes berechnet:

Hierbei ist Φ die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Wenn Wahrsch (X<U) + Wahrsch (X>O) extrem nah an p1 liegt, ermittelt Minitab mit dem größeren Wert von Wahrsch (X<U) und Wahrsch (X>O) den Stichprobenumfang und die Annahmezahl.

Angenommen, Wahrsch (X<U) ist der größere Wert; dann sei pU = Wahrsch (X<U).

Der Stichprobenumfang wird wie folgt ausgedrückt:

Die kritische Distanz wird wie folgt ausgedrückt:

Dabei gilt Folgendes:

ZpU = (1 – pU) * 100-tes Perzentil der Standardnormalverteilung

  • Wenn p1 < 2p* < p2, müssen die Spezifikationsgrenzen der Pläne geprüft werden, da die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit, die durch die beiden Spezifikationsgrenzen und die Standardabweichung bestimmt wird, größer als die annehmbare Qualitätsgrenzlage p1 ist. Ziehen Sie einen Plan mit einer etwas höheren Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit als p1 in Erwägung.
  • Wenn 2p* ≥ p2, muss das Los zurückgewiesen werden; die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit, die durch die beiden Spezifikationsgrenzen und die Standardabweichung bestimmt wird, ist größer als die rückzuweisende Qualitätsgrenzlage. Sie können das Los zurückweisen, ohne dass Sie hierfür Produkte testen müssen.

Beide Spezifikationsgrenzen und unbekannte Standardabweichung

Zunächst legt Minitab die kritische Distanz auf den Wert fest, der im Fall der beiden separaten Pläne mit einer einzelnen Grenze gegeben ist:

Anschließend ermittelt Minitab die Fläche des oberen Randbereichs p* aus der Standardnormalverteilung, die dem Wert von k als Perzentil entspricht, sowie das Perzentil Zp** aus der Standardnormalverteilung, das der Fläche des oberen Randbereichs von p* / 2 entspricht.

Die maximale Standardabweichung (MSD) wird wie folgt ausgedrückt:

Die geschätzte Standardabweichung wird wie folgt ausgedrückt:

Minitab testet, ob die geschätzte Standardabweichung s kleiner oder gleich der MSD ist.

Wenn die geschätzte Standardabweichung s kleiner oder gleich der MSD ist, gilt Folgendes:

Der Stichprobenumfang wird wie folgt ausgedrückt:

Die kritische Distanz wird wie folgt ausgedrückt:

Wenn die geschätzte Standardabweichung s nicht kleiner oder gleich der MSD, ist die Standardabweichung zu groß, um die Annahmekriterien zu erfüllen, und Sie müssen das Los zurückweisen.

Notation

BegriffBeschreibung
Z1(1 – p1) * 100-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
p1Annehmbare Qualitätsgrenzlage (AQL)
Z2(1 – p2) * 100-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
p2Rückzuweisende Qualitätsgrenzlage (RQL)
Zα(1 – α) * 100-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
Zβ(1 – β ) * 100-tes Perzentil der Standardnormalverteilung
Xii-ter Messwert
Mittelwert der tatsächlichen Messwerte
Uuntere Spezifikationsgrenze
Oobere Spezifikationsgrenze
σbekannte Standardabweichung

Annahmewahrscheinlichkeit

Sei p die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit; diese entspricht dem x-Wert eines Punkts auf einer OC-Kurve.

Einzelne Spezifikationsgrenze und bekannte Standardabweichung

Einzelne untere Spezifikationsgrenze und bekannte Standardabweichung
Wahrsch (X < U) = p.
Einzelne obere Spezifikationsgrenze und bekannte Standardabweichung
Wahrsch (X > U) = p.

Einzelne Spezifikationsgrenze und unbekannte Standardabweichung

Beide Spezifikationsgrenzen und bekannte Standardabweichung

Zuerst berechnet Minitab z

Anschließend ermittelt Minitab p* aus der Standardnormalverteilung als Fläche des oberen Randbereichs, die z entspricht. Dies ist die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit außerhalb einer der Spezifikationsgrenzen.

Die Methode, mit der Minitab die Annahmewahrscheinlichkeit berechnet, hängt von diesem Wert von p* ab.

Sei p1 = AQL, p2 = RQL

  • Wenn 2p* ≤ (p1/ 2), liegen die zwei Spezifikationen relativ weit auseinander, und die Berechnungen für Stichprobenumfang und kritische Distanz folgen den Plänen mit einzelnen Grenzen.
  • Wenn p1/ 2 < 2p* ≤ p1, liegen die beiden Spezifikationsgrenzen nicht so weit auseinander; dennoch liegen sie nicht so dicht beieinander, dass die minimale Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Einheit für bestimmte Mittelwerte ermittelt werden kann.

Minitab ermittelt für jeden gegebenen Wert von p den Mittelwert μ der Messwerte; hierbei wird ein Algorithmus für Gittersuchvorgänge verwendet. Dann gilt Folgendes:

Beide Spezifikationsgrenzen und unbekannte Standardabweichung

Wenn sowohl eine obere als auch eine untere Spezifikationsgrenze vorhanden sind, die Standardabweichung jedoch unbekannt ist, verwendet Minitab die OC-Kurve für den Plan mit einer einzelnen Grenze, um eine Approximation des Falls mit beiden Spezifikationsgrenzen zu berechnen. Die für einen Plan mit einer einzelnen Spezifikationsgrenze mit gegebenen Werten für p1, p2, α und β abgeleitete OC-Kurve ist die Untergrenze für das Band von OC-Kurven für einen Plan mit beiden Spezifikationsgrenzen mit denselben Werten für p1, p2, α und β, und bei den meisten praktischen Anwendungen kann sie als OC-Kurve für den Plan mit beiden Spezifikationsgrenzen verwendet werden. Weitere Informationen finden Sie in Duncan1.

  1. Duncan (1986). Quality Control and Industrial Statistics, 5th Edition.

Notation

BegriffBeschreibung
nStichprobenumfang
kkritische Distanz
σbekannte Standardabweichung
Zp(1 – p)-tes Perzentil aus der Standardnormalverteilung
Φkumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
T

nicht zentrale t-Verteilung mit Freiheitsgraden = n – 1 und dem Nichtzentralitätsparameter

Uuntere Spezifikationsgrenze
Oobere Spezifikationsgrenze

Rückweisewahrscheinlichkeit

Die Rückweisewahrscheinlichkeit (Pr) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Los gemäß einem bestimmten Plan für die Stichprobenprüfung und einem bestimmten Anteil fehlerhafter Einheiten im Eingangslos zurückgewiesen wird. Sie beträgt einfach 1 minus Annahmewahrscheinlichkeit.

Pr = 1 – Pa

Dabei gilt Folgendes:

Pa = Annahmewahrscheinlichkeit

Methode zum Annehmen oder Zurückweisen eines Loses

Minitab berechnet eine Entscheidung zu Annahme oder Rückweisung anhand der Messwerte der Einheiten in der Stichprobe und anhand der Kriterien (Stichprobenumfang und kritische Distanz) des Plans für die Annahmestichprobenprüfung nach Variablen.

Zunächst berechnet Minitab den Mittelwert und die Standardabweichung aus den Daten (wenn Sie keine historische Standardabweichung angegeben haben):

Mittelwert
Standardabweichung
Annahmekriterien
Hinweis

Minitab verwendet σ anstelle von s in den Berechnungen für Z, wenn Sie eine historische Standardabweichung angeben.

  • Wenn beide Spezifikationsgrenzen angegeben sind, werden die Z-Werte für jede Spezifikationsgrenze berechnet. Nehmen Sie das Los an, wenn Z.USG ≥ k und Z.OSG ≥ k; weisen Sie das Los andernfalls zurück.
  • Ist nur eine Spezifikationsgrenze angegeben, wird der entsprechende Z-Wert berechnet. Liegt nur die untere Spezifikationsgrenze vor, nehmen Sie das Los an, wenn Z.USG ≥ k; weisen Sie das Los andernfalls zurück. Liegt nur die obere Spezifikationsgrenze vor, nehmen Sie das Los an, wenn Z.OSG ≥ k; weisen Sie das Los andernfalls zurück.

Notation

BegriffBeschreibung
XiMessdaten
Mittelwert
sgeschätzte Standardabweichung
σbekannte Standardabweichung
nStichprobenumfang
kkritische Distanz
Uuntere Spezifikationsgrenze
Oobere Spezifikationsgrenze

Durchschlupf (AOQ)

Der Durchschlupf stellt das Qualitätsniveau des Produkts nach der Prüfung dar. Der Durchschlupf variiert mit dem Anteil fehlerhafter Einheiten im Eingangslos.

Notation

BegriffBeschreibung
PaAnnahmewahrscheinlichkeit
pAnteil fehlerhafter Einheiten im Eingangslos
NLosumfang
nStichprobenumfang

Durchschnittliche Gesamtprüfung (ATI)

Die durchschnittliche Gesamtprüfung stellt die durchschnittliche Anzahl von Prüfeinheiten auf einem bestimmten Eingangsqualitätsniveau und bei einer bestimmten Annahmewahrscheinlichkeit dar.

Notation

BegriffBeschreibung
PaAnnahmewahrscheinlichkeit
NLosumfang
nStichprobenumfang

Annahmebereich (AR)

Der Annahmebereich wird nur berechnet, wenn beide Spezifikationsgrenzen angegeben sind und die Standardabweichung unbekannt ist.

Minitab ermittelt die Koordinaten des Annahmebereichs:

  • Die Fläche des oberen Randbereichs, die der kritischen Distanz als Perzentil entspricht, wird anhand von p* aus einer Standardnormalverteilung berechnet.
  • Für beliebige zwei Anteile p01 und p02, für die p02 + p01 = p* gilt:

p01 = (p* / 100) * h

p02 = (p* / 100) * (100 - h)

Notation

BegriffBeschreibung
Uuntere Spezifikationsgrenze
Oobere Spezifikationsgrenze
Zp01(1 - p01)*100-tes Perzentil aus der Standardnormalverteilung
Zp02(1 - p02)*100-tes Perzentil aus der Standardnormalverteilung
p01(p* / 100) * h
p02(p* / 100) * (100 – h)
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