Was ist eine inverse kumulative Verteilungsfunktion (ICDF)?

Die inverse kumulative Verteilungsfunktion gibt den Wert an, der einer bestimmten kumulativen Wahrscheinlichkeit zugeordnet ist. Bestimmen Sie mit Hilfe der inversen CDF den Wert der Variablen, der einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zugeordnet ist.

Beispiel für das Verwenden der ICDF zum Festlegen von Garantiezeiträumen

Ein Hersteller von Haushaltsgeräten untersucht beispielsweise die Ausfallzeiten für das Heizelement in Toastern. Dabei soll die Zeit bestimmt werden, bis zu der bestimmte Anteile von Heizelementen ausfallen, damit der Garantiezeitraum festgelegt werden kann. Die Ausfallzeiten der Heizelemente folgen einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 1000 Stunden und einer Standardabweichung von 300 Stunden. Mit der Dichtefunktion (PDF) lassen sich Bereiche mit größerer und geringerer Ausfallwahrscheinlichkeit ermitteln. Die inverse CDF liefert die entsprechende Ausfallzeit für jede kumulative Wahrscheinlichkeit.

Schätzen Sie mit Hilfe der inversen CDF die Zeit, bis zu der 5 % der Heizelemente ausfallen, den Zeitraum, in dem 95 % aller Heizelemente ausfallen, oder die Zeit, nach der nur noch 5 % der Heizelemente verblieben sind. Die inverse CDF für bestimmte kumulative Wahrscheinlichkeiten ist gleich der Ausfallzeit an der rechten Seite der eingefärbten Fläche unterhalb der PDF-Kurve.

Bestimmen des Zeitpunkts, bis zu dem 5 % ausfallen

  1. Wählen Sie Berechnen > Wahrscheinlichkeitsverteilungen > Normal aus.
  2. Wählen Sie Inverse kumulative Wahrscheinlichkeit aus. Geben Sie im Feld Mittelwert den Wert 1000 ein. Geben Sie im Feld Standardabweichung den Wert 300 ein. Geben Sie im Feld Eingabekonstante den Wert 0,05 ein.
  3. Klicken Sie auf OK.

Die Zeit, bis zu der voraussichtlich 5 % der Heizelemente ausfallen, ist die inverse CDF von 0,05 bzw. 506,544 Stunden.

Diese Grafik veranschaulicht die inverse CDF.

Bestimmen des Zeitraums, in dem 95 % ausfallen

  1. Wählen Sie Berechnen > Wahrscheinlichkeitsverteilungen > Normal aus.
  2. Wählen Sie Inverse kumulative Wahrscheinlichkeit aus. Geben Sie im Feld Mittelwert den Wert 1000 ein. Geben Sie im Feld Standardabweichung den Wert 300 ein. Geben Sie im Feld Eingabekonstante den Wert 0,025 ein. Klicken Sie auf OK.

    Die Zeit, bis zu der voraussichtlich 2,5 % der Heizelemente ausfallen, ist die inverse CDF von 0,025 bzw. 412 Stunden.

  3. Wiederholen Sie Schritt 2, geben Sie aber 0,975 anstelle von 0,025 ein. Klicken Sie auf OK.
    Die Zeit, bis zu der voraussichtlich 97,5 % der Heizelemente ausfallen, ist die inverse CDF von 0,975 bzw. 1588 Stunden.

Die Zeiten, zwischen denen voraussichtlich 95 % aller Heizelemente ausfallen, sind daher die inverse CDF von 0,025 und die inverse CDF von 0,975 bzw. 412 Stunden und 1588 Stunden.

Diese Grafik veranschaulicht die inverse CDF.

Bestimmen des Zeitpunkts, zu dem nur noch 5 % verbleiben

  1. Wählen Sie Berechnen > Wahrscheinlichkeitsverteilungen > Normal aus.
  2. Wählen Sie Inverse kumulative Wahrscheinlichkeit aus. Geben Sie im Feld Mittelwert den Wert 1000 ein. Geben Sie im Feld Standardabweichung den Wert 300 ein. Geben Sie im Feld Eingabekonstante den Wert 0,95 ein.
  3. Klicken Sie auf OK.

Die Zeit, nach der voraussichtlich nur noch 5 % verbleiben, ist die inverse CDF von 0,95 bzw. 1493 Stunden.

Diese Grafik veranschaulicht die inverse CDF.

Beispiel für die Verwendung der CDF und der ICDF mit der hypergeometrischen Verteilung

Wenn Sie die inverse kumulative Wahrscheinlichkeit einer diskreten Verteilung bestimmen möchten, enthält die Ausgabe zwei Gruppen von Spalten.

Angenommen, Ihnen liegt die inverse kumulative Wahrscheinlichkeit eines Anteils p vor. In der ersten Gruppe von Spalten in der Ausgabe ist der größte x-Wert aufgeführt, bei dem P(X ≤ x) ≤ p. In der zweiten Gruppe von Spalten ist der kleinste x-Wert aufgeführt, bei dem P(X ≤ x) ≥ p.

Berechnen der kumulativen Wahrscheinlichkeit einer hypergeometrischen Verteilung

  1. Geben Sie im Arbeitsblatt in der Spalte C1 die Werte 0 1 2 ein.
    C1
    0
    1
    2
  2. Wählen Sie Berechnen > Wahrscheinlichkeitsverteilungen > Hypergeometrisch aus.
  3. Wählen Sie Kumulative Wahrscheinlichkeit aus.
  4. Geben Sie im Feld Größe der Grundgesamtheit (N) den Wert 20000 ein.
  5. Geben Sie im Feld Ereigniszahl in Grundgesamtheit (M) den Wert 2000 ein.
  6. Geben Sie im Feld Stichprobenumfang (n) den Wert 20 ein.
  7. Wählen Sie Eingabespalte aus, und geben Sie die Spalte C1 ein. Klicken Sie auf OK.
Folgende Ausgabe wird im Sessionfenster angezeigt:

Kumulative Verteilungsfunktion

Hypergeometrisch mit N = 20000, M = 2000 und n = 20 x p( X ≤ x ) 0 0,121448 1 0,391619 2 0,676941
Die Ausgabe kann folgendermaßen interpretiert werden:
  • P(X ≤ 0) = 0,121448. Die Wahrscheinlichkeit, dass 0 Fehler auftreten, liegt bei etwa 12 %.
  • P(X ≤ 1) = 0,391619. Die Wahrscheinlichkeit, dass 0 oder 1 Fehler auftreten, liegt bei etwa 39 %.
  • P(X ≤ 2) = 0,676941. Die Wahrscheinlichkeit, dass 0, 1 oder 2 Fehler auftreten, liegt bei etwa 68 %.

Berechnen der inversen kumulativen Wahrscheinlichkeit einer hypergeometrischen Verteilung

Da Sie nun die kumulativen Wahrscheinlichkeiten kennen, die den Anzahlen von Fehlern zugeordnet sind, berechnen Sie die inverse kumulative Wahrscheinlichkeit.

Angenommen, Sie möchten die Anzahl der Fehler x berechnen, so dass die kumulative Wahrscheinlichkeit p 0,50 beträgt. Aus den vorausgegangenen Ergebnissen wissen Sie, dass P(X ≤ 1) = 0,391619 und P(X ≤ 2) = 0,676941. Da die hypergeometrische Verteilung eine diskrete Verteilung ist, kann die Anzahl der Fehler nicht zwischen 1 und 2 liegen. Mit anderen Worten, es können 1 oder 2 Fehler, aber nicht 1,4 Fehler auftreten. Wenn Sie Eingabekonstante auswählen und 0,50 eingeben, berechnet Minitab daher beide Wahrscheinlichkeiten und gibt diese im Sessionfenster aus, wie im folgenden Beispiel dargestellt:

  1. Wählen Sie Berechnen > Wahrscheinlichkeitsverteilungen > Hypergeometrisch aus.
  2. Wählen Sie Inverse kumulative Wahrscheinlichkeit aus.
  3. Geben Sie im Feld Größe der Grundgesamtheit (N) den Wert 20000 ein.
  4. Geben Sie im Feld Ereigniszahl in Grundgesamtheit (M) den Wert 2000 ein.
  5. Geben Sie im Feld Stichprobenumfang (n) den Wert 20 ein.
  6. Wählen Sie Eingabekonstante aus, und geben Sie 0,50 ein. Klicken Sie auf OK.
Folgende Ausgabe wird im Sessionfenster angezeigt:

Inverse kumulative Verteilungsfunktion

Hypergeometrisch mit N = 20000, M = 2000 und n = 20 x p( X ≤ x ) x p( X ≤ x ) 1 0,391619 2 0,676941

Die erste Wahrscheinlichkeit gibt einen Wert von x an, bei dem P(X ≤ x) < p, und die zweite Wahrscheinlichkeit den kleinsten Wert von x, bei dem P(X ≤ x) ≥ p. In diesem Beispiel entspricht die erste Wahrscheinlichkeit der größten Anzahl von Ausfällen, x = 2, bei der P(X ≤ 2) < 0,5, und die zweite der kleinsten Anzahl von Ausfällen, x = 3, bei der P(X ≤ 3) ≥ 0,5.

Verwenden der ICDF zum Berechnen von kritischen Werten

Mit Minitab können Sie einen kritischen Wert für einen Hypothesentest berechnen, statt diesen in einer Tabelle nachzuschlagen.

Angenommen, Sie führen einen Chi-Quadrat-Test mit α = 0,02 und 12 Freiheitsgraden durch. Welchem kritischen Wert entspricht dies? Der Wert α = 0,02 entspricht einer kumulativen Wahrscheinlichkeit von 1 – 0,02 = 0,98.

  1. Wählen Sie Berechnen > Wahrscheinlichkeitsverteilungen > Chi-Quadrat aus.
  2. Wählen Sie Inverse kumulative Wahrscheinlichkeit aus.
  3. Geben Sie im Feld Freiheitsgrade den Wert 12 ein.
  4. Wählen Sie Eingabekonstante aus, und geben Sie 0,98 ein.
  5. Klicken Sie auf OK.

Minitab zeigt im Sessionfenster den kritischen Wert 24,054 an. Wenn bei einem Chi-Quadrat-Test die Teststatistik über dem kritischen Wert liegt, können Sie folgern, dass ein statistischer Beleg dafür vorliegt, dass die Nullhypothese zurückgewiesen werden kann.

Hinweis

Bei diesem Beispiel wird die Chi-Quadrat-Verteilung verwendet. Die Arbeitsschritte sind jedoch für alle anderen Verteilungen identisch.

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