Methoden und Formeln für Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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Dichtefunktion

Anhand der Dichtefunktion (PDF) einer Zufallsvariablen X können Sie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:
  • Für stetige Verteilungen entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass X in einem Intervall (a; b) Werte aufweist, exakt der Fläche unter der zugehörigen PDF im Intervall (a; b).
  • Für stetige Verteilungen entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass X in einem Intervall (a; b) Werte aufweist, exakt der Summe der PDF (auch als Wahrscheinlichkeitsfunktion bekannt) der möglichen diskreten Werte von X in (a; b).
Verwenden Sie die PDF, um den Wert der Dichtefunktion für einen bekannten Wert x der Zufallsvariablen X zu ermitteln.

Kumulative Verteilungsfunktion

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) berechnet die kumulative Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten x-Wert. Mit der CDF können Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, mit der eine zufällig aus der Grundgesamtheit entnommene Beobachtung kleiner oder gleich einem bestimmten Wert ist. Anhand dieser Information können Sie auch die Wahrscheinlichkeit ermitteln, mit der eine Beobachtung größer als ein bestimmter Wert ist oder zwischen zwei Werten liegt.
  • Für stetige Verteilungen gibt die CDF die Fläche unter der Dichtefunktion bis zu dem von Ihnen angegebenen x-Wert an.
  • Für diskrete Verteilungen gibt die CDF die kumulative Wahrscheinlichkeit für von Ihnen angegebene X-Werte an.

Inverse kumulative Wahrscheinlichkeit

Die inverse kumulative Verteilungsfunktion (ICDF) einer Zufallsvariablen X bestimmt für eine Zahl p in dem geschlossenen Intervall [0;1] einen Wert x, für den die Wahrscheinlichkeit von X ≤ x größer oder gleich p ist, sofern dies möglich ist.

ICDF für stetige Verteilungen

Die ICDF ist der Wert, der einer Fläche unter der Dichtefunktion entspricht. Die ICDF ist die Umkehrung der kumulativen Verteilungsfunktion (CDF); diese ist die Fläche, die einem Wert entspricht.

Die ICDF ist für alle stetigen Verteilungen definiert und eindeutig, wenn 0 < p < 1 ist.

  • Wenn die Dichtefunktion (PDF) für die gesamte Reihe reeller Zahlen positiv ist (z. B. die PDF der Normalverteilung), ist die ICDF weder für p = 0 noch für p = 1 definiert.
  • Wenn die PDF für alle Werte größer als ein bestimmter Wert positiv ist (z. B. die PDF für die Chi-Quadrat-Verteilung), ist die ICDF für p = 0 definiert, aber nicht für p = 1.
  • Wenn die PDF nur für ein Intervall positiv ist (z. B. die PDF für die Gleichverteilung), ist die ICDF für p = 0 und p = 1 definiert.
  • Wenn die ICDF nicht definiert ist, gibt Minitab als Ergebnis einen fehlenden Wert (*) zurück.
ICDF für diskrete Verteilungen
Bei diskreten Verteilungen ist die CDF komplizierter als für stetige Verteilungen. Wenn Sie die CDF für eine Binomialverteilung mit beispielsweise n = 5 und p = 0,4 berechnen, gibt es keinen x-Wert, für den die CDF 0,5 ist. Für x = 1 ist die CDF 0,3370. Für x = 2 steigt die CDF auf 0,6826.
Wenn die ICDF im Sessionfenster angezeigt wird (die Ergebnisse also nicht gespeichert werden), werden beide Werte für x angezeigt. Wenn die ICDF gespeichert wird, wird der größere der beiden Werte gespeichert.

Betaverteilung

Die Betaverteilung wird häufig zur Darstellung von Prozessen mit natürlichen Unter- und Obergrenzen verwendet.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
α Formparameter 1
β Formparameter 2
ΓGamma-Funktion
a Untergrenze
b Obergrenze

Wenn a = 0 und b = 1,

lautet die PDF:

Binomialverteilung

Mit der Binomialverteilung wird dargestellt, wie häufig Ereignisse in n unabhängigen Versuchen eintreten. Mögliche Werte sind ganze Zahlen von null bis n.

Formel

Mittelwert = np

Varianz = np(1 – p)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) lautet:

Hierbei ist gleich .

In der Regel kann k! berechnet werden als

Notation

BegriffBeschreibung
n Anzahl der Versuche
x Anzahl der Ereignisse
p Ereigniswahrscheinlichkeit

Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist um null symmetrisch, doch nähern sich die Randbereiche langsamer dem Wert null als bei einer Normalverteilung.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
a Lageparameter
b Skalenparameter
π Pi (~3,142)
Hinweis

Wenn Sie keine Werte angeben, verwendet Minitab a = 0 and b = 1.

Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn x eine Standardnormalverteilung aufweist, weist x2 eine Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad auf; diese Verteilung wird daher häufig als Stichprobenverteilung verwendet.

Die Summe von n unabhängigen x2-Variablen (wobei x eine Standardnormalverteilung aufweist) weist eine Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden auf. Die Form der Chi-Quadrat-Verteilung hängt von der Anzahl der Freiheitsgrade ab.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Mittelwert = v

Varianz = 2v

Notation

BegriffBeschreibung
ν Freiheitsgrade
ΓGamma-Funktion
e Basis des natürlichen Logarithmus

Diskrete Verteilung

Eine diskrete Verteilung definieren Sie selbst. Angenommen, Sie untersuchen eine Verteilung, die aus den drei Werten -1, 0 und 1 besteht, denen die Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5 bzw. 0,3 entsprechen. Wenn Sie die Werte in die Spalten eines Arbeitsblatts eingeben, können Sie anhand dieser Spalten Zufallszahlen erzeugen oder Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Wert Wahrsch
−1 0,2
0 0,5
1 0,3

Exponentialverteilung

Mit der Exponentialverteilung lassen sich Zeiten zwischen Ausfällen modellieren, z. B. wenn Einheiten eine konstante momentane Ausfallrate aufweisen (Hazard-Funktion). Bei der Exponentialverteilung handelt es sich um einen Sonderfall der Weibull-Verteilung und der Gammaverteilung.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) lautet:

Mittelwert = θ + λ

Varianz = θ2

Notation

BegriffBeschreibung
θ Skalenparameter
λ Schwellenwertparameter
exp Basis des natürlichen Logarithmus
Hinweis

In der Literatur wird für den Parameter zum Teil „1/θ“ gebraucht.

F-Verteilung

Die F-Verteilung wird auch als Verteilung des Varianz-Verhältnisses bezeichnet; sie weist zwei Typen von Freiheitsgraden auf: Freiheitsgrade des Zählers und Freiheitsgrade des Nenners. Sie stellt die Verteilung des Verhältnisses zwischen zwei unabhängigen Zufallsvariablen mit Chi-Quadrat-Verteilungen jeweils dividiert durch ihre Freiheitsgrade dar.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
ΓGamma-Funktion
u Freiheitsgrade des Zählers
v Freiheitsgrade des Nenners

Gamma-Verteilung

Mit der Gamma-Verteilung werden häufig positiv schiefe Daten modelliert.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Mittelwert = ab + θ

Varianz = ab2

Notation

BegriffBeschreibung
a Formparameter (bei a = 1 entspricht die PDF für die Gamma-Verteilung der PDF für die Exponentialverteilung)
b Skalenparameter
θ Schwellenwertparameter
Γ Gamma-Funktion
e Basis des natürlichen Logarithmus
Hinweis

In der Literatur wird für den Parameter zum Teil „1/b“ gebraucht.

Geometrische Verteilung

Die diskrete geometrische Verteilung gilt für eine Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente mit einem Ereignis von Interesse, dessen Wahrscheinlichkeit p beträgt.

Formel

Wenn die Zufallsvariable x der Gesamtzahl der erforderlichen Versuche entspricht, um ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p zu erhalten, wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) von x angegeben als:

und x weist folgende Eigenschaften auf:

Wenn die Zufallsvariable y der Anzahl der auftretenden Nicht-Ereignisse entspricht, bevor das erste Ereignis (mit der Wahrscheinlichkeit p) beobachtet wird, wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) von y angegeben als:

und y weist folgende Eigenschaften auf:

Notation

BegriffBeschreibung
X Anzahl der zum Auslösen eines einzelnen Ereignisses benötigten Versuche, Y + 1
Y Anzahl der Nicht-Ereignisse, die vor dem ersten Ereignis auftreten
p Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuch ein Ereignis eintritt

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung wird für Stichproben verwendet, die ohne Zurücklegen aus kleinen Grundgesamtheiten entnommen werden. Angenommen, bei einer Lieferung von N Fernsehgeräten sind N1 gut (Erfolge) und N2 fehlerhaft (Ausfälle). Wenn Sie eine Zufallsstichprobe von n aus N Fernsehgeräten ohne Zurücklegen entnehmen, können Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass genau x der n Fernsehgeräte gut sind.

Formel

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
N N1 + N2 = Größe der Grundgesamtheit
N1 Anzahl der Ereignisse in der Grundgesamtheit
N2 Anzahl der Nicht-Ereignisse in der Grundgesamtheit
n Stichprobenumfang
x Anzahl der Ereignisse in der Stichprobe

Ganzzahlige Verteilung

Die ganzzahlige Verteilung ist eine diskrete Gleichverteilung für eine Menge von ganzen Zahlen. Jede ganze Zahl weist die gleiche Vorkommenswahrscheinlichkeit auf.

Normalverteilung

Die Normalverteilung (auch als auch als Gaußsche Verteilung bezeichnet) ist die am häufigsten verwendete statistische Verteilung, da sie viele physikalische, biologische und soziale Prozesse modellieren kann.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) lautet:

Mittelwert = μ

Varianz = σ 2

Standardabweichung = σ

Notation

BegriffBeschreibung
expBasis des natürlichen Logarithmus
π Pi (~3,142)

Laplace-Verteilung

Die Laplace-Verteilung wird verwendet, wenn die Verteilung eine stärkere Spitze als eine Normalverteilung aufweist.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Mittelwert = a

Varianz = 2b2

Notation

BegriffBeschreibung
a Lageparameter
b Skalenparameter
e Basis des natürlichen Logarithmus

Verteilung des größten Extremwerts

Verwenden Sie die Verteilung des größten Extremwerts zum Modellieren des größten Werts einer Verteilung. Wenn eine Folge von Exponentialverteilungen vorliegt und x(n) das Maximum der ersten n Verteilungen ist, dann nähert sich die Verteilung von x(n) – ln(n) der Verteilung des größten Extremwerts an. Bei großen Werten von n stellt die Verteilung des größten Extremwerts daher eine gute Annäherung an die Verteilung von x(n) – ln(n) dar.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) lautet:

Mittelwert = μ + γσ

Varianz = π 2 σ 2 / 6

Notation

BegriffBeschreibung
σ Skalenparameter
μ Lageparameter
γ Euler-Konstante (~0,57722)

Logistische Verteilung

Eine stetige Verteilung, die symmetrisch ist und der Normalverteilung ähnelt, aber stärker besetzte Randbereiche aufweist.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) lautet:

Mittelwert = μ

Notation

BegriffBeschreibung
μ Lageparameter
σ Skalenparameter

Loglogistische Verteilung

Eine Variable x weist eine loglogistische Verteilung mit dem Schwellenwert λ auf, wenn Y = log (xλ) eine logistische Verteilung aufweist.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) lautet:

wenn σ < 1:

wenn σ < 1/2:

Notation

BegriffBeschreibung
μ Lageparameter
σ Skalenparameter
λ Schwellenwertparameter
Γ Gamma-Funktion
exp Basis des natürlichen Logarithmus

Lognormale Verteilung

Eine Variable x weist eine lognormale Verteilung auf, wenn log(xλ) eine Normalverteilung aufweist.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
μ Lageparameter
σ Skalenparameter
λ Schwellenwertparameter
π Pi (~3,142)

Negative Binomialverteilung

Die diskrete negative Binomialverteilung gilt für eine Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente mit einem Ereignis von Interesse, dessen Wahrscheinlichkeit p beträgt.

Formel

Wenn die Zufallsvariable x der Gesamtzahl der erforderlichen Versuche entspricht, um r Ereignisse zu erhalten, die jeweils die Wahrscheinlichkeit p aufweisen, wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) von x angegeben als:
und x weist die folgenden Eigenschaften auf:

Wenn die Zufallsvariable y der Anzahl der auftretenden Nicht-Ereignisse entspricht, bevor Sie r Ereignisse beobachten, die jeweils die Wahrscheinlichkeit p aufweisen, wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) von y angegeben durch:

und y weist folgende Eigenschaften auf:

Hinweis

Diese negative Binomialverteilung ist auch als Pascal-Verteilung bekannt.

Notation

BegriffBeschreibung
x y + r
r Anzahl der Ereignisse
p Ereigniswahrscheinlichkeit

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Verteilung, die die Anzahl der Ereignisse auf der Grundlage einer konstanten Ereignisrate modelliert. Die Poisson-Verteilung kann als Annäherung an die Binomialverteilung verwendet werden, wenn die Anzahl der unabhängigen Versuche groß und die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs gering ist.

Formel

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) lautet:

Mittelwert = λ

Varianz = λ

Notation

BegriffBeschreibung
e Basis des natürlichen Logarithmus

Verteilung des kleinsten Extremwerts

Verwenden Sie die Verteilung des kleinsten Extremwerts, um den kleinsten Wert einer Verteilung zu modellieren. Wenn y der Weibull-Verteilung folgt, folgt log(y) der Verteilung des kleinsten Extremwerts.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
ξ Lageparameter
θ Skalenparameter
e Basis des natürlichen Logarithmus
v Euler-Konstante (~0,57722)

t-Verteilung

Mit zunehmender Anzahl Freiheitsgrade konvergiert die t-Verteilung gegen die Normalverteilung. Sie kann zu folgenden Zwecken verwendet werden:
  • Erstellen von Konfidenzintervallen für den Mittelwert einer Grundgesamtheit aus einer Normalverteilung, wenn die Varianz unbekannt ist
  • Bestimmen, ob sich zwei Stichproben-Mittelwerte aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannten, aber gleichen Varianzen signifikant unterscheiden
  • Testen der Signifikanz von Regressionskoeffizienten

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Mittelwert = 0, wenn ν > 0

Notation

BegriffBeschreibung
ΓGamma-Funktion
v Freiheitsgrade
π Pi (~3,142)

Dreiecksverteilung

Die PDF der Dreiecksverteilung weist eine dreieckige Form auf.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
a unterer Endpunkt
b oberer Endpunkt
c Modalwert (Lage der Spitze der PDF)

Gleichverteilung

Mit der Gleichverteilung werden in einem Intervall gleichmäßig angeordnete Daten charakterisiert, wobei a der kleinste und b der größte Wert ist.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
a unterer Endpunkt
b oberer Endpunkt

Weibull-Verteilung

Die Weibull-Verteilung wird zum Modellieren von Produktausfallzeiten verwendet.

Formel

Die Dichtefunktion (PDF) lautet:

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
α Skalenparameter
β Formparameter, bei β = 1 entspricht die PDF für die Weibull-Verteilung der PDF für die Exponentialverteilung
λ Schwellenwertparameter
Γ Gamma-Funktion
exp Basis des natürlichen Logarithmus
Hinweis

In der Literatur wird für den Parameter zum Teil „1/α“ gebraucht.

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