Methoden und Formeln für Prognostizieren

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Konfidenzintervall

Der Bereich, in dem der geschätzte Mittelwert der Antwortvariablen bei einer gegebenen Gruppe von Werten der Prädiktorvariablen erwartet wird.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
angepasster Wert der Antwortvariablen für eine gegebene Gruppe von Prädiktorwerten
α Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art
n Anzahl der Beobachtungen
p Anzahl der Modellparameter
S 2(b)Varianz-Kovarianz-Matrix der Koeffizienten
s 2 mittleres Fehlerquadrat
X Versuchsplanmatrix
X0 Vektor der gegebenen Prädiktorwerte
X'0transponierter neuer Vektor von Prädiktorwerten

Anpassung

Notation

BegriffBeschreibung
angepasster Wert
xkk-ter Term. Jeder Term kann ein einzelner Prädiktor, ein Polynomialterm oder ein Wechselwirkungsterm sein.
bkSchätzwert des k-ten Regressionskoeffizienten

Standardfehler des angepassten Werts (SE Anpassung)

Der Standardfehler des angepassten Werts in einem Regressionsmodell mit einem Prädiktor wird wie folgt ausgedrückt:

Der Standardfehler des angepassten Werts in einem Regressionsmodell mit mehreren Prädiktoren wird wie folgt ausgedrückt:

Notation

BegriffBeschreibung
s2mittleres Fehlerquadrat
nAnzahl der Beobachtungen
x0neuer Wert des Prädiktors
Mittelwert des Prädiktors
xii-ter Wert des Prädiktors
x0 Vektor von Werten, die die angepassten Werte erzeugen, ein Wert pro Spalte in der Designmatrix und beginnend mit dem Wert 1 für den konstanten Term
x'0transponierter neuer Vektor von Prädiktorwerten
XDesignmatrix

Regressionsgleichung

Für ein Modell mit mehreren Prädiktoren lautet die Gleichung:

y = β0 + β1x1 + … + βkxk + ε

Die angepasste Gleichung lautet:

Bei der einfachen linearen Regression, die nur einen Prädiktor enthält, lautet das Modell:

y=ß0+ ß1x1+ε

Bei Verwendung der Regressionsschätzwerte b0 für ß0 und b1 für ß1 lautet die angepasste Gleichung:

Notation

BegriffBeschreibung
yAntwortvariable
xkk-ter Term. Jeder Term kann ein einzelner Prädiktor, ein Polynomialterm oder ein Wechselwirkungsterm sein.
ßkk-ter Regressionskoeffizient der Grundgesamtheit
εFehlerterm, der einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 folgt
bkSchätzwert des k-ten Regressionskoeffizienten der Grundgesamtheit
angepasste Antwortvariable

Prognoseintervall

Das Prognoseintervall ist der Bereich, in dem der angepasste Wert der Antwortvariablen für eine neue Beobachtung erwartet wird.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
s(Prog)
angepasster Wert der Antwortvariablen für eine gegebene Gruppe von Prädiktorwerten
α Signifikanzniveau
n Anzahl der Beobachtungen
p Anzahl der Modellparameter
s 2 mittleres Fehlerquadrat
X Prädiktormatrix
X0 Matrix der gegebenen Prädiktorwerte
X'0transponierter neuer Vektor von Prädiktorwerten
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