Methoden und Formeln für ARIMA

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Koeffizienten

Die Koeffizienten werden anhand eines iterativen Algorithmus geschätzt, der Schätzwerte der kleinsten Quadrate berechnet. Bei jeder Iteration werden die rückwärts gerichteten Prognosen und SSE berechnet. Weitere Informationen finden Sie in Box und Jenkins 1.

Der ARIMA-Algorithmus basiert auf der Anpassungsroutine im TSERIES-Programmpaket, das von Professor Professor William Q. Meeker, Jr., an der Iowa State University geschrieben wurde2. Wir danken Professor Meeker für seine Hilfe bei der Anpassung seiner Routine an Minitab.

Rückwärts gerichtete Prognosen

Rückwärts gerichtete Prognosen werden anhand des angegebenen Modells und der Parameterschätzungen der aktuellen Iteration berechnet. Weitere Informationen finden Sie in Cryer3.

SSE

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
n Gesamtzahl der Beobachtungen
Residuen unter Verwendung der Parameterschätzungen dieser Iteration, einschließlich rückwärts gerichteter Prognosen

SS für Residuen

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
n Gesamtzahl der Beobachtungen
at Residuen unter Verwendung der endgültigen Parameterschätzungen, ausgenommen rückwärts gerichtete Prognosen

DF für Residuen

Formel

Für ein Modell mit konstantem Term:

(nd) – pq – 1

Für ein Modell ohne konstanten Term:

(nd) – pq

Notation

BegriffBeschreibung
n Gesamtzahl der Beobachtungen
d Anzahl der Differenzen
p Anzahl der in das Modell eingebundenen Parameter für die Autoregression
q Anzahl der in das Modell eingebundenen Parameter für den gleitenden Durchschnitt

MS für Residuen

Formel

SS/DF

Chi-Quadrat-Statistik

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
n Gesamtzahl der Beobachtungen
d Anzahl der Differenzen
K 12, 24, 36, 48
k Lag
Autokorrelation der Residuen für das k-te Lag

DF für Chi-Quadrat-Statistik

Formel

Für ein Modell mit konstantem Term:

Kpq – 1

Für ein Modell ohne konstanten Term:

Kpq

Notation

BegriffBeschreibung
K 12, 24, 36, 48
p Anzahl der in das Modell eingebundenen Parameter für die Autoregression
q Anzahl der in das Modell eingebundenen Parameter für den gleitenden Durchschnitt

p-Wert für Chi-Quadrat-Statistik

Formel

P(X < χ 2)

Notation

BegriffBeschreibung
X x 2 (DF)-verteilt

Prognosen

Formel

Die Prognosen werden rekursiv anhand des Modells und der Parameterschätzungen berechnet. Wenn z. B. ein ARIMA-Modell mit einem autoregressiven Term (AR(1)) und einem Term für die saisonale Differenzbildung mit einer saisonalen Periode von 12 angepasst wird, wird dieses Modell angepasst:

Yt Yt–12 = γ + Φ(Yt–1Yt–12–1)

Zum Schätzen von , der ersten Prognose, wobei k der Ursprung ist, wird diese Gleichung ausgewertet:

Anschließend wird auf dieselbe Weise ermittelt usw.

Notation

BegriffBeschreibung
Yt tatsächlicher Wert zum Zeitpunkt t
Φ autoregressiver Term
geschätzter autoregressiver Term
γ konstanter Term
geschätzter konstanter Term
1 G.E.P. Box und G.M. Jenkins (1994). Time Series Analysis: Forecasting and Control, 3rd Edition. Prentice Hall.
2 W. Q. Meeker (1978). „TSERIES-A User-Oriented Computer Program for Time Series Analysis“, The American Statistician, 32, S. 111-112.
3 J.D. Cryer (1986). Time Series Analysis. Duxbury Press.
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