Methoden und Formeln für die Varianzkomponenten für Stabilitätsuntersuchung für Zufallschargen

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Varianzkomponenten

Bei den Varianzkomponenten ist eine iterative Lösung erforderlich, um den Parameter θi zu schätzen. Sobald der Parameter vorliegt, besitzen die Varianzkomponenten explizite Lösungen. Die Formel für die Varianzkomponente für Fehler lautet:

wobei

Im Folgenden sind die Varianzkomponenten für die Terme der Zufallseffekte angegeben:

Weitere Informationen zum Schätzen von θi finden Sie in [1].

Weitere Einzelheiten zur Notation finden Sie im Abschnitt „Methoden“.

Literaturhinweise

  1. Hemmerle, W. und Hartley, H. (1973). Computing Maximum Likelihood Estimates for the Mixed A.O.V. Model using the W transformation. Technometrics, 15(4): S. 819-831.

Standardfehler von Varianzkomponenten

Um die Standardfehler von Varianzkomponenten zu schätzen, beginnt Minitab mit der beobachteten Fisher-Informationsmatrix. Die Matrix weist c + 1 Zeilen und Spalten auf. Die Variable c ist die Anzahl der Terme der Zufallseffekte im Modell, und 1 stellt die Varianz für den Fehlerterm dar. Für i = 1, …, c und j = 1, …, c finden Sie im Folgenden die Formel für die ij-te Komponente der beobachteten Fisher-Informationsmatrix:
Dabei gilt Folgendes:
Die folgende Formel ist die Komponente der letzten Zeile und der Spalte, j = 1, …, c:
Dabei gilt Folgendes:

Diese Komponente entspricht zudem dem Wert der letzten Spalte und der Zeile durch die Symmetrieeigenschaft der Varianz-Kovarianz-Matrix.

Die folgende Formel gibt die Komponente der letzten Zeile und der letzten Spalte an:

Die asymptotische Varianz-Kovarianz-Matrix für die Schätzwerte der Varianzkomponenten beläuft sich auf das Doppelte der Umkehrung der beobachteten Fisher-Informationsmatrix. Die Schätzwerte der Standardfehler sind die Quadratwurzeln der Diagonalelemente der Varianz-Kovarianz-Matrix. Die ersten c Diagonalelemente stehen für die Varianzkomponenten der Terme der Zufallseffekte. Das letzte Diagonalelement ist für die Fehlervarianzkomponente bestimmt.

Notation

BegriffBeschreibung
Spur der Matrix
die Summe der Quadrate aller Elemente in der Matrix M

Weitere Einzelheiten zur Notation finden Sie im Abschnitt „Methoden“.

Konfidenzintervalle für Varianzkomponenten

Minitab verwendet die Delta-Methode, um Konfidenzgrenzen nach Wald für den natürlichen Logarithmus der Varianzkomponenten zu konstruieren, und potenziert dann das Konfidenzintervall, um das Konfidenzintervall für die Varianzkomponente zu ermitteln. Die Formel lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
Varianzkomponente für den i-ten Zufallsfaktor
das -te Quantil aus der Standardnormalverteilung
1 − Konfidenzniveau

z-Wert und p-Wert

Die Null- und die Alternativhypothese für den Test lauten:
Die Hypothesen für die Fehlervarianz sind identisch.
Bei der Teststatistik wird von einer Standardnormalverteilung ausgegangen:
Der p-Wert entspricht der Wahrscheinlichkeit des oberen Randbereichs aus der Standardnormalverteilung nach der Nullhypothese:

Notation

BegriffBeschreibung
zWert der inversen kumulativen Verteilungsfunktion für die Standardnormalverteilung

Varianz-Kovarianz-Matrix

Die asymptotische Varianz-Kovarianz-Matrix ist die Umkehrung der beobachteten Fisher-Informationsmatrix. Die Matrix weist c + 1 Zeilen und Spalten auf. Die Variable c ist die Anzahl der Terme der Zufallseffekte im Modell, und 1 stellt die Varianz für den Fehlerterm dar. Für i = 1, …, c und j = 1, …, c gilt die folgende Formel für die Komponente der beobachteten Fisher-Informationsmatrix:
Dabei gilt Folgendes:
Die folgende Formel ist die Komponente der letzten Zeile und der Spalte, j = 1, …, c:
Dabei gilt Folgendes:

Diese Komponente entspricht zudem dem Wert der letzten Spalte und der Zeile durch die Symmetrieeigenschaft der Varianz-Kovarianz-Matrix.

Die folgende Formel gibt die Komponente der letzten Zeile und der letzten Spalte an:

Notation

BegriffBeschreibung
Spur der Matrix

Weitere Einzelheiten zur Notation finden Sie im Abschnitt „Methoden“.

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